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Une entreprise fabrique q objets par jour, q étant un nombre réel de l'intervalle [0;250].
Le coût total de fabrication de ces q objets est C1(q) en euros, la fonctiion C1, étant dérivable sur [0;250].
1) Soit CMoy(q)=C1(q)/q le coût moyen de fabrication d'un objet en euros. En supposant que la foction CMoy admet minimum pour une valeur q0 de l'intervalle]0;250[, montrer que la tangeante T au point d'abscisse q0 à la courbe repréentative de la fonction C1 passe par l'origine.
2) Le coût magistral Cmax(q) est le coût de fabrication d'un q = 1éme objet suppmémentaire soit C1(q+1=-C1(q). Quand q ezst grand, on juge que 1 est petit et on préfére  remplacer la diférence précédente par sa limite quand h tend vers 0, soit Cmax(q)=limh->0 (C1(q+h)-C1(q))/h = C'1(q). Démontrer que, lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.
3) Soit R(q) la recette obtenu pour q objets vendus. Le bénéfice est donc B(q)=R(q)-C1(q)
Les fonctions R et C1 sont repésentés dans un repére orthogonal.
4) Retrouvez les résultats par calcul sachant que:
- le coût total est C1(q)=0,002q^3-0,6q^3+70q en euros,
- chaque objet est vendu 40€donc en supposant que tout soit vendu on obtient la recette R(q) = 40q

Sagot :

1) On a Cmoy(q) = C1(q)/q , donc C'moy(q) = (q C'1(q) - C1(q))/q^2.
On a C'moy(q0) = 0 donc q C'1(q) - C1(q) = 0 .
La tangente au point q0 à la courbe représentative de la fonction C1 est y = C'1(q0) (q - q0) + C1(q0) = C'1(q0) q - C'1(q0) q0 + C1(q0) = C'1(q0) q - (q0C'1(q0) - C1(q0)) = C'1(q0) q puisque q0C'1(q0) - C1(q0) = 0 , ce qui donne la fonction représentative de la tangente au point q0 est linéaire et donc passe par l'origine .
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