Bonjour,
ex1)
Un = 10n/(n² + 4) pour n ≥ 0
U₀ = 0
U₁ = 10/5 = 2
U₂ = 20/8 = 2,5
U₃ = 30/13 = 2,31 arrondi au centième
b) On constate que U₂ > U₁ mais aussi que U₃ < U₂.
Donc la suite (Un) n'est pas croissante.
Ex2)
V₀ = 1 et Vn = Vn-1 + 1/n pour tout n ≥ 1
a) V₀ = 1
V₁ = V₁₋₁ + 1/1 = V₀ + 1 = 2
V₂ = V₂₋₁ + 1/2 = V₁ + 1/2 = 2 + 1/2 = 5/2 = 2,5
V₃ = V₃₋₁ + 1/3 = V₂ + 1/3 = 2,5 + 1/3 = 2,83 (arrondi)
b)
Vn+1 - Vn = [Vn + 1/(n+1)] - Vn
= 1/(n+1)
Pour tout entier n, 1/(n+1) > 0.
Donc Vn+1 - Vn > 0
soit Vn+1 > Vn
La suite (Vn) est donc croissante.
Ex3)
Wn = 3n² - 100n + 1000 pour n > 0
a) f(x) = 3x² - 100x + 1000 est définie sur R
Dérivée f'(x) = 6x - 100
f'(x) s'annule pour x = 100/6
x -∞ 100/6 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) décroissante croissante
On en déduit que f a un minimum pour x = 100/6 = environ 16,66.
b) La suite (Wn) suit les mêmes variations que la fonction f sur ]0;+∞[ (car n>0).
Donc (Wn) est minimale pour n = 16 ou n = 17 (encadrement de 16,66)
n = 16 ⇒ w₁₆ = 3x16² - 100x16 + 1000 = 168
n = 17 ⇒ w₁₇ = 3x17² - 100x17 + 1000 = 167
Le plus petit terme est donc w₁₇ et vaut 167
