Bonjour
Elifk1,
Question 1
1ère ligne :
[tex]n=\boxed{0}\\u_n=u_0=\boxed{1}\\v_n=v_0=u_0+5=1+5=\boxed{6}[/tex]
2ème ligne :
[tex]n=\boxed{1}\\\\u_n=u_1=2u_0+5=2\times1+5=2+5=\boxed{7}\\\\v_n=v_1=u_1+5=7+5=\boxed{12}[/tex]
3ème ligne :
[tex]n=\boxed{2}\\\\u_n=u_2=2u_1+5=2\times7+5=14+5=\boxed{19}\\\\v_n=v_2=u_2+5=19+5=\boxed{24}[/tex]
Question 2
[tex]v_{n+1}=u_{n+1}+5\\\\v_{n+1}=(2u_{n}+5)+5\\\\v_{n+1}=2u_{n}+10\\\\v_{n+1}=2(u_{n}+5)\\\\\boxed{v_{n+1}=2v_n}[/tex]
D'où la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=6[/tex]
Donc, [tex]\boxed{v_n=6\times2^n}[/tex]
En outre,
[tex]v_n=u_n+5\Longrightarrow u_n=v_n-5\\\\\Longrightarrow\boxed {u_n=6\times2^n-5}[/tex]
Question 3
[tex]u_n\ \textgreater \ 1000\\\\6\times2^n-5\ \textgreater \ 1000\\\\6\times2^n\ \textgreater \ 1000+5\\\\6\times2^n\ \textgreater \ 1005\\\\2^n\ \textgreater \ \dfrac{1005}{6}\\\\\ln(2^n)\ \textgreater \ \ln(\dfrac{1005}{6})\\\\n\times\ln(2)\ \textgreater \ \ln(\dfrac{1005}{6})\\\\n\ \textgreater \ \dfrac{\ln(\dfrac{1005}{6})}{\ln(2)}\\\\\boxed{n\ \textgreater \ 7,388...}[/tex]
Par conséquent, le plus petit entier [tex]n_0[/tex] tel que [tex]u_n\ \textgreater \ 1000[/tex] est [tex]\boxed{n_0=8}[/tex]
