Bonjour,
1) a) Volume du réservoir rempli à 1 m
V₁ = πR₁²xh₁ = πx3²x1 = 9π m³ (car R₁ = 6/2 = 3 m)
Avec un débit D de 1 m³ par heure, il faudra :
t₁ = V₁/D = 9π heures (environ 28h et 16mn)
b) Volume du réservoir rempli à 2 m
V₂ = V₁ + πR₂²xh₂ = 9π + 16π = 25π (car R₂ = (6+2)/2 = 4 m)
Donc temps de remplissage t₂ = V₂/D = 25π heures (environ 78h et 32 mn)
c) V₃ = V₁ + V₂ + πR₃²h₃ avec R₃ = 5 m
t₃ = t₂ + 25π = 50π heures (environ 157 h et 5mn)
2) a) f(t) = h
t = V/D = πR²h/D avec D = 1 m³/h et h ∈ [0;1]
donc t = 9πh
b) Quand h varie de 0 à 1, t varie donc de 0 à 9π
et t = 9πh ⇒ h = t/9π
On en déduit : f(t) = h = t/9π
c) h ∈ [1;2]
A t = 9π heures , h =1 m
A t = 25π heures, h = 2 m
Temps de remplissage entre 1 m à 2 m :
t - 9π = V/D = πR²(h - 1)/D avec D = 1 m³/h et R = 4 m
donc t - 9π = 16π(h - 1)
d) t ∈ [9π;25π] ⇒ h ∈ [1;2]
t - 9π = 16π(h - 1)
⇔ h - 1 = (t - 9π)/16π
⇔ h = (t - 9π + 16π)/16π = (t + 7π)/16π
Donc f(t) = h = (t + 7π)/16π
3)
on trace pour t ∈ [0;9π] f(t) = t/9π
pour t ∈ [9π;25π] f(t) = (t + 7π)/16π
Pour t ∈ [25π;50π] :
on place le point de départ : f(25π) = (25π + 7π)/16π
soit f(25π) = 2 m donc point M(25π;2)
puis le point d'arrivée M'(50π;3) puisque le réservoir est alors plein.
