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bonjours quelqu'un pourrais m'aidez svp a mon exo.
Laetitia vend des bougies par lots. L ecout engendré par la vente de x lots de bougies est donné, en dizaines d'euros par: C(x)= x²-42x+480
Chaque lot de bougies est vendu 100 euos.
1) Démontrer que le bénéfice engendré par la vente de x lots de bougies est, en dizaines d'euros:
B(x)=-x²+52x-480
2a) Démontrer que B(x)=(40-x)(x-12)
2b) Étudier le signe de B(x) à l'aide d'un tableau de signes.
2c) Quelles doivent-etre les quantités de lots de bougies à vendre pour que Leatitia réalise réellement un bénéfice ?
3a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant B.
3b) Dresser le tableau de variation de B sur l'intervalle sur lequel le bénéfice est positif.
3c) Combien faut-il vendre de lots de bougies pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?

SVP aidez moi c'est urgent


Sagot :

Bonsoir ;

Tout d'abord , li faut remarquer que le coût engendré par la vente de x lots de bougies est : C(x) = x² + 48x + 480 et non C(x) = x² - 42x + 480 .

1) Les recettes engendrées par la vente de x lots de bougies sont :
R(x) = 100x avec x ∈ [0 ; + ∞ [ .

Les bénéfices engendrées par la vente de x lots de bougies sont :
B(x) = R(x) - C(x) = 100x - (x² + 48x + 480)
= 100x - x² - 48x - 480 = - x² + 52x - 480 .

2)

a) (40 - x)(x - 12) = 40x - 480 - x² + 12x = - x² + 52x - 480 = B(x) .

b)

   x                    0                          12                          40                        + ∞
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B(x)                                  -            0              +            0             -

c) B(x) > 0 donc x ∈ ] 12 ; 40 [ .

3)

a) Soit S(u ; v) le sommet de la parabole , donc :
u = - 52/(- 2) = 26 et v = (40 - 26)(26 - 12) = 14 x 14 = 196 ,
donc le sommet de la parabole est : S(26 ; 196) .

b)

   x                0                                    26                         + ∞
----------------------------------------------------------------------------------------

                                                         196

                                                 /                          \
B(x)                                /                                          \
                     - 480                                                            - ∞

c) B(x) représente le bénéfice réalisé , et le poit S(26 ; 196) représente le sommet de la parabole qui est la représentation graphique de la fonction B, donc il faut vendre 26 lots de bougies pour réaliser un bénéfice maximal qui est de 196€ .

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