Sagot :
Bonjour Yacine931
Exercice 1
[tex]S_n=\ln2^1+\ln2^2+\ln2^3+...+\ln2^n\\\\S_n=\ln2+2\ln2+3\ln2+...+n\ln2[/tex]
D'où Sn est la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison r = ln2 et dont le premier terme est [tex]u_1= \ln2[/tex]
Donc
[tex]S_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{\ln2+n\ln2}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{1\ln2+n\ln2}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{(1+n)\ln2}{2}\\\\S_n=\dfrac{n(n+1)\ln2}{2}\\\\S_n=n(n+1)\times\dfrac{1}{2}\ln2\\\\\boxed{S_n=n(n+1)\times\ln\sqrt{2}}[/tex]
La suite (Sn) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
En effet :
[tex]\left\{\begin{matrix}S_1=\ln2\\S_2=3\ln2\\S_3=6\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}S_2-S_1=2\ln2\\S_3-S_2=3\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{S_2-S_1\neq S_3-S_2}[/tex]
D'où la suite (Sn) n'est pas arithmétique.
[tex]\left\{\begin{matrix}S_1=\ln2\\S_2=3\ln2\\S_3=6\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3\ln2}{\ln2}=3\\\\\dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{6\ln2}{3\ln2}=2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\dfrac{S_2}{S_1}\neq\dfrac{S_3}{S_2}}[/tex]
D'où la suite (Sn) n'est pas géométrique.
Problème 2
1) Soit [tex]h(x)=\ln x[/tex]
Alors l'équation de la tangente [tex]T_a[/tex] est de la forme : [tex]y=h'(a)(x-a)+h(a)[/tex]
Or
[tex]h(x)=\ln x\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow h'(a)=\dfrac{1}{a}\\\\h(x)=\ln x\Longrightarrow h(a)=\ln a[/tex]
D'où, l'équation de la tangente [tex]T_a[/tex] est :
[tex]y=\dfrac{1}{a}(x-a)+\ln a\\\\y=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{1}{a}\times a+\ln a\\\\\boxed{(T_a):y=\dfrac{1}{a}x-1+\ln a}[/tex]
Soit [tex]g(x)=-\dfrac{1}{x}[/tex]
Alors l'équation de la tangente [tex]T'_b[/tex] est de la forme : [tex]y=g'(b)(x-b)+g(b)[/tex]
Or
[tex]g(x)=-\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x^2}\Longrightarrow g'(b)=\dfrac{1}{b^2}\\\\\\g(x)=-\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g(b)=-\dfrac{1}{b}[/tex]
D'où, l'équation de la tangente [tex]T'_b[/tex] est :
[tex]y=\dfrac{1}{b^2}(x-b)-\dfrac{1}{b}\\\\y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{1}{b^2}\times b-\dfrac{1}{b}\\\\y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b}\\\\\boxed{(T'_b):y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{2}{b}}[/tex]
2) Les deux droites sont confondues si et seulement leurs équations sont équivalentes.
D'où
[tex]\dfrac{1}{a}x-1+\ln a=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{2}{b}\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b^2}\\\\-1+\ln a=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=b^2\\-1+\ln a=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=b^2\\-1+\ln b^2=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\left\{\begin{matrix}a=b^2\\\ln b^2+\dfrac{2}{b}=1 \end{matrix}\right.}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}[/tex]
[tex]a)\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}]=+\infty+0=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]b)\ f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}=2\ln x+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x\ln x}{x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x\ln x+2}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=\dfrac{2(x\ln x+1)}{x}}\\\\\\\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}\dfrac{2(x\ln x+1)}{x}=[\dfrac{2(0+1)}{0^+}]=[\dfrac{2}{0^+}]=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=\lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}[\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}]=-\infty-\infty=-\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=-\infty}[/tex]
d) Variations de f
[tex]f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}\\\\f'(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x-2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(x-1)}{x^2}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&1&&+\infty\\2(x-1)&&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&-&||&-&0&+&\\&&&&&&&\\f(x)&+\infty&\searrow&-\infty||+\infty&\searrow&2&\nearrow&+\infty\\\end{array}[/tex]
4) La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]-oo;0[.
[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=-\infty[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons qu'il existe une et une seule valeur β dans l'intervalle ]-oo ; 0[ telle que f(β) = 1.
Par balayage, nous obtenons : [tex]\boxed{\beta\approx-2,5}[/tex]
5) Le système (S) admet donc une solution.
b = -2,5 et a = (-2,5)^2=6,25
Les deux courbes ont donc une tangente commune.
Graphique en pièce jointe.
Exercice 1
[tex]S_n=\ln2^1+\ln2^2+\ln2^3+...+\ln2^n\\\\S_n=\ln2+2\ln2+3\ln2+...+n\ln2[/tex]
D'où Sn est la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison r = ln2 et dont le premier terme est [tex]u_1= \ln2[/tex]
Donc
[tex]S_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{\ln2+n\ln2}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{1\ln2+n\ln2}{2}\\\\S_n=n\times\dfrac{(1+n)\ln2}{2}\\\\S_n=\dfrac{n(n+1)\ln2}{2}\\\\S_n=n(n+1)\times\dfrac{1}{2}\ln2\\\\\boxed{S_n=n(n+1)\times\ln\sqrt{2}}[/tex]
La suite (Sn) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
En effet :
[tex]\left\{\begin{matrix}S_1=\ln2\\S_2=3\ln2\\S_3=6\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}S_2-S_1=2\ln2\\S_3-S_2=3\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{S_2-S_1\neq S_3-S_2}[/tex]
D'où la suite (Sn) n'est pas arithmétique.
[tex]\left\{\begin{matrix}S_1=\ln2\\S_2=3\ln2\\S_3=6\ln2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3\ln2}{\ln2}=3\\\\\dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{6\ln2}{3\ln2}=2 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\dfrac{S_2}{S_1}\neq\dfrac{S_3}{S_2}}[/tex]
D'où la suite (Sn) n'est pas géométrique.
Problème 2
1) Soit [tex]h(x)=\ln x[/tex]
Alors l'équation de la tangente [tex]T_a[/tex] est de la forme : [tex]y=h'(a)(x-a)+h(a)[/tex]
Or
[tex]h(x)=\ln x\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow h'(a)=\dfrac{1}{a}\\\\h(x)=\ln x\Longrightarrow h(a)=\ln a[/tex]
D'où, l'équation de la tangente [tex]T_a[/tex] est :
[tex]y=\dfrac{1}{a}(x-a)+\ln a\\\\y=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{1}{a}\times a+\ln a\\\\\boxed{(T_a):y=\dfrac{1}{a}x-1+\ln a}[/tex]
Soit [tex]g(x)=-\dfrac{1}{x}[/tex]
Alors l'équation de la tangente [tex]T'_b[/tex] est de la forme : [tex]y=g'(b)(x-b)+g(b)[/tex]
Or
[tex]g(x)=-\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x^2}\Longrightarrow g'(b)=\dfrac{1}{b^2}\\\\\\g(x)=-\dfrac{1}{x}\Longrightarrow g(b)=-\dfrac{1}{b}[/tex]
D'où, l'équation de la tangente [tex]T'_b[/tex] est :
[tex]y=\dfrac{1}{b^2}(x-b)-\dfrac{1}{b}\\\\y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{1}{b^2}\times b-\dfrac{1}{b}\\\\y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b}\\\\\boxed{(T'_b):y=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{2}{b}}[/tex]
2) Les deux droites sont confondues si et seulement leurs équations sont équivalentes.
D'où
[tex]\dfrac{1}{a}x-1+\ln a=\dfrac{1}{b^2}x-\dfrac{2}{b}\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b^2}\\\\-1+\ln a=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=b^2\\-1+\ln a=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=b^2\\-1+\ln b^2=-\dfrac{2}{b} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\left\{\begin{matrix}a=b^2\\\ln b^2+\dfrac{2}{b}=1 \end{matrix}\right.}[/tex]
[tex]3)\ f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}[/tex]
[tex]a)\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}]=+\infty+0=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]b)\ f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}=2\ln x+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x\ln x}{x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x\ln x+2}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=\dfrac{2(x\ln x+1)}{x}}\\\\\\\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}\dfrac{2(x\ln x+1)}{x}=[\dfrac{2(0+1)}{0^+}]=[\dfrac{2}{0^+}]=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0,x\ \textgreater \ 0}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=\lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}[\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}]=-\infty-\infty=-\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=-\infty}[/tex]
d) Variations de f
[tex]f(x)=\ln(x^2)+\dfrac{2}{x}\\\\f'(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x-2}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2(x-1)}{x^2}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&1&&+\infty\\2(x-1)&&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&0&+&+&+&\\f'(x)&&-&||&-&0&+&\\&&&&&&&\\f(x)&+\infty&\searrow&-\infty||+\infty&\searrow&2&\nearrow&+\infty\\\end{array}[/tex]
4) La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]-oo;0[.
[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to0,x\ \textless \ 0}f(x)=-\infty[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons qu'il existe une et une seule valeur β dans l'intervalle ]-oo ; 0[ telle que f(β) = 1.
Par balayage, nous obtenons : [tex]\boxed{\beta\approx-2,5}[/tex]
5) Le système (S) admet donc une solution.
b = -2,5 et a = (-2,5)^2=6,25
Les deux courbes ont donc une tangente commune.
Graphique en pièce jointe.
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