Bonjour
Usainbolt
Exercice 2
[tex]1)\ u_0=5\\\\u_1=4u_0-6=4\times5-6=20-6=14\Longrightarrow\boxed{u_1=14}\\\\u_2=4u_1-6=4\times14-6=56-6=50\Longrightarrow\boxed{u_2=50}[/tex]
Algorithme :
Variable : i, n, u : Nombre
Entrée : Lire n ;
Initialisation : u prend la valeur 5 ;
Traitement : Pour i allant de 1 à n Faire u prend la valeur 4*u-6
Fin_Pour ;
Sortie : Afficher u ;
[tex]2)\ v_n=u_n-2\\\\a)\ v_0=u_0-2=5-2=3\Longrightarrow\boxed{v_0=3}\\\\v_1=u_1-2=14-2=12\Longrightarrow\boxed{v_1=12}\\\\v_2=u_2-2=50-2=48\Longrightarrow\boxed{v_2=48}[/tex]
Nous pouvons conjecturer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme [tex]v_0=3[/tex]
[tex]b)\ v_{n+1}=u_{n+1}-2\\v_{n+1}=(4u_{n}-6)-2\\v_{n+1}=4u_n-8\\v_{n+1}=4(u_n-2)\\\\\boxed{v_{n+1}=4v_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme [tex]v_0=3[/tex].
[tex]c)\ v_n=v_0\times q^n\\\\\boxed{v_n=3\times4^n}[/tex]
[tex]v_n=u_n-2\Longrightarrow u_n=2+v_n\Longrightarrow\boxed{u_n=2+3\times4^n}[/tex]
[tex]3)\ u_{n+1}-u_n=(2+3\times4^{n+1})-(2+3\times4^n)\\\\u_{n+1}-u_n=2+3\times4^{n+1}-2-3\times4^n\\\\u_{n+1}-u_n=3\times4^{n+1}-3\times4^n\\\\u_{n+1}-u_n=3\times4^{n}\times4-3\times4^n\\\\u_{n+1}-u_n=3\times4^{n}\times(4-1)\\\\u_{n+1}-u_n=3\times4^{n}\times3\\\\\boxed{u_{n+1}-u_n=9\times4^{n}}[/tex]
De plus
[tex]\left\{\begin{matrix}9\ \textgreater \ 0\\4^n\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\Longrightarrow9\times4^n\ \textgreater \ 0\Longrightarrow u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est strictement croissante.
4) Sn est la somme de n termes d'une suite géométrique.
Selon la formule de la somme de ces termes, nous obtenons :
[tex]S_n=v_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\\\\S_n=12\times\dfrac{1-4^n}{1-4}\\\\S_n=12\times\dfrac{1-4^n}{-3}\\\\S_n=12\times\dfrac{4^n-1}{3}\\\\\boxed{S_n=4(4^n-1)}[/tex]
Expression de Tn en fonction de n.
[tex]T_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n\\\\T_n=(v_1+2)+(v_2+2)+(v_3+2)+...+(v_n+2)\\\\T_n=(v_1+v_2+v_3+...+v_n)+(2+2+2+...+2)\\\\T_n=S_n+n\times2\\\\\boxed{T_n=4(4^n-1)+2n}[/tex]
Exercice 3
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}\\\\1)a)\ u_1=\dfrac{3u_0-1}{u_0+1}=\dfrac{3\times5-1}{5+1}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}\Longrightarrow\boxed{u_1=\dfrac{7}{3}}\\\\\\u_2=\dfrac{3u_1-1}{u_1+1}=\dfrac{3\times\dfrac{7}{3}-1}{\dfrac{7}{3}+1}=\dfrac{\dfrac{18}{3}}{\dfrac{10}{3}}=\dfrac{18}{10}=\dfrac{9}{5}\Longrightarrow\boxed{u_2=\dfrac{9}{5}}[/tex]
[tex]u_3=\dfrac{3u_2-1}{u_2+1}=\dfrac{3\times\dfrac{9}{5}-1}{\dfrac{9}{5}+1}=\dfrac{\dfrac{22}{5}}{\dfrac{14}{5}}=\dfrac{22}{14}=\dfrac{11}{7}\Longrightarrow\boxed{u_3=\dfrac{11}{7}}[/tex]
b) Graphique en pièce jointe.
c) Nous pouvons conjecturer que la suite (Un) est strictement décroissante et que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1[/tex]
[tex]\boxed{v_n=\dfrac{u_n+3}{u_n-1}}\\\\3)a)\ v_0=\dfrac{u_0+3}{u_0-1}=\dfrac{5+3}{5-1}=2\Longrightarrow\boxed{v_0=2}\\\\v_1=\dfrac{u_1+3}{u_1-1}=\dfrac{\dfrac{7}{3}+3}{\dfrac{7}{3}-1}=\dfrac{\dfrac{16}{3}}{\dfrac{4}{3}}=4\Longrightarrow\boxed{v_1=4}\\\\v_2=\dfrac{u_2+3}{u_2-1}=\dfrac{\dfrac{9}{5}+3}{\dfrac{9}{5}-1}=\dfrac{\dfrac{24}{5}}{\dfrac{4}{5}}=6\Longrightarrow\boxed{v_2=6}[/tex]
[tex]b)\ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+3}{u_{n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}+3}{\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}-1}=\dfrac{\dfrac{3u_n-1+3u_n+3}{u_n+1}}{\dfrac{3u_n-1-u_n-1}{u_n+1}}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{3u_n-1+3u_n+3}{3u_n-1-u_n-1}=\dfrac{6u_n+2}{2u_n-2}=\dfrac{2(3u_n+1)}{2(u_n-1)}\\\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{u_n-1}}\\\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{3u_n+1}{u_n-1}-\dfrac{u_n+3}{u_n-1}=\dfrac{3u_n+1-u_n-3}{u_n-1}=\dfrac{2u_n-2}{u_n-1}\\\\v_{n+1}-v_n=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n-1}\\\\\boxed{v_{n+1}-v_n=2}[/tex]
c) On en déduit que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=2[/tex]
D'où [tex]v_n=v_0+n\times r\Longrightarrow\boxed{v_n=2+2n}[/tex]
[tex]4)\ v_n=\dfrac{u_n+3}{u_n-1}\\\\2+2n=\dfrac{u_n+3}{u_n-1}\\\\(2+2n)(u_n-1)=u_n+3\\\\2u_n+2nu_n-2-2n=u_n+3\\\\2u_n-u_n+2nu_n=3+2+2n\\\\u_n+2nu_n=5+2n\\\\u_n(1+2n)=5+2n\\\\u_n=\dfrac{5+2n}{1+2n}\\\\\boxed{u_n=\dfrac{2n+5}{2n+1}}[/tex]
5) L'algorithme détermine le plus petit entier naturel n tel que [tex]u_n\le1,002[/tex]
Les résultats montrent que n est égal à 1000 et que, dans ce cas, [tex]u_n=1,001999[/tex]
