Bonjour Monpetitcoeur72
1) Soit l'événement [tex]A_n:[/tex] La machine fonctionne bien le jour "n".
Alors, selon les données de l'énoncé, nous avons :
[tex]p_{n+1}=p(A_{n+1})=p_{A_n}(A_{n+1})\times p(A_{n})+p_{\overline{A_n}}(A_{n+1})\times p(\overline{A_n})\\\\p_{n+1}=0,6\times p_n+0,9\times(1-p_n)\\\\p_{n+1}=0,6\times p_n+0,9-0,9\times p_n\\\\\boxed{p_{n+1}=-0,3\times p_n+0,9}[/tex]
Soit la suite [tex](a_n)[/tex] définie par [tex]a_n=p_n-\dfrac{9}{13}[/tex]
Montrons que cette suite est géométrique.
[tex]a_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{9}{13}\\\\a_{n+1}=-0,3p_n+0,9-\dfrac{9}{13}\\\\a_{n+1}=-0,3p_n+\dfrac{9}{10}-\dfrac{9}{13}\\\\a_{n+1}=-0,3p_n+\dfrac{27}{130}\\\\a_{n+1}=-0,3(p_n-\dfrac{9}{13})\\\\\boxed{a_{n+1}=-0,3\times a_n}[/tex]
D'où la suite [tex](a_n)[/tex] est une suite géométrique de raison (-0,3) et dont le premier terme est [tex]a_1=p_1-\dfrac{9}{13}[/tex]
Par conséquent
[tex]a_n=a_1\times(-0,3)^{n-1}\\\\a_n=(p_1-\dfrac{9}{13})\times(-0,3)^{n-1}\\\\p_n-\dfrac{9}{13}=(p_1-\dfrac{9}{13})\times(-0,3)^{n-1}\\\\\boxed{p_n=\dfrac{9}{13}+(p_1-\dfrac{9}{13})\times(-0,3)^{n-1}}[/tex]
Puisque [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,3)^n=0[/tex], nous en déduisons que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{9}{13}+(p_1-\dfrac{9}{13})\times(-0,3)^{n-1}]=\dfrac{9}{13}+0=\dfrac{9}{13}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{9}{13}}[/tex]
2.1) Loi de probabilité de la variable aléatoire C1.
La variable aléatoire C1 peut prendre deux valeurs : 0 et x+y.
D'où
[tex]p(C_1=0)=p(A_n)\Longrightarrow\boxed{p(C_1=0)=\dfrac{9}{13}}\\\\p(C_1=x+y)=p(\overline{A_n})=1-p(A_n)=1-\dfrac{9}{13}\\\\\Longrightarrow\boxed{p(C_1=x+y)=\dfrac{4}{13}}[/tex]
2.2) Espérance mathématique de C1.
[tex]E(C_1)=0\times\dfrac{9}{13}+(x+y)\times\dfrac{4}{13}\\\\\boxed{E(C_1)=\dfrac{4}{13}(x+y)}[/tex]
3.1) Loi de probabilité de C2
La variable aléatoire C2 peut prendre deux valeurs : x et 2x+y.
[tex]p(C_2=x)=p(A_n)\Longrightarrow\boxed{p(C_2=x)=0,9}\\\\p(C_2=2x+y)=p(\overline{A_n})=1-p(A_n)=1-0,9\\\\\Longrightarrow\boxed{p(C_2=2x+y)=0,1}[/tex]
3.2) Espérance mathématique de C2.
[tex]E(C_2)=x\times0,9+(2x+y)\times0,1\\\\E(C_2)=0,9x+0,2x+0,1y\\\\\boxed{E(C_2)=1,1x+0,1y}[/tex]
4) Les deux options peuvent être les suivantes :
- soit attendre que la panne se produise.
- soit effectuer un entretien préventif.
L'ensemble des couples (x ; y) conduisant à choisir la première option est l'ensemble des solutions du système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\E(C_2)-E(C_1)\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\1,1x+0,1y-\dfrac{4}{13}(x+y)\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\\dfrac{11}{10}x+\dfrac{1}{10}y-\dfrac{4}{13}x-\dfrac{4}{13}y\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\\dfrac{103}{130}x-\dfrac{27}{130}y\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\103x-27y\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}x\ \textgreater \ 0\\y\ \textgreater \ 0\\\\y\ \textless \ \dfrac{103}{27}x \end{matrix}\right.}[/tex]
L'ensemble de ces couples est représenté en vert sur la figure en pièce jointe.
