Bonjour ;
1)
Soit u la mesure de l'angle MAJ .
Le triangle DMI est un triangle équilatéral , et la droite (MI) passe par le sommet M et I qui est le milieu du côté qui lui est opposé , donc (MI) est une médiane de DMI , donc c'est aussi la bissectrice de l'angle DMC .
Comme le triangle DMC est un triangle équilatéral , donc l'angle DMC
mesure pi/3 , donc l'angle DMI mesure (pi/3)/2 = pi/6 .
La droite (MJ) est aussi la médiatrice de [DC] , et comme ABCD est un carré , elle aussi la médiatrice de [AB] , donc elle lui est perpendiculaire et passe son milieu I , donc le triangle AMJ est un triangle rectangle , donc la mesure de l'angle AMJ est : pi/2 - u .
Comme l'angle JAD est un angle droit , donc la mesure de l'angle MAD est :
pi/2 - u .
On a aussi : DA = DM donc le triangle ADM est isocèle en D , donc les deux angles MAD et DMA ont même mesure , donc la mesure de l'angle DMA est aussi pi/ - u .
Et comme on a : IMD + DMA + AMJ = pi ,
donc : pi/6 + pi/2 - u + pi/2 - u = pi ,
donc : pi/6 + pi - 2u = pi ,
donc : pi/6 -2u = 0 ,
donc : 2u = pi/6 ,
donc : u = pi/12 ,
donc la mesure de l'angle MAJ est : pi/12 .
2) IM = MD cos(pi/6) = a * √3/2= √3/2 a .
MJ = IJ - IM = AD - IM = a - √3/2 a = (1 - √3/2) a .
Le triangle AMJ est rectangle en J , donc en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
AM² = MJ² + AJ² = (1 - √3/2)² a² + a²/4 = (1 + 3/4 - √3) a² + a²/4
= (1 + 3/4 + 1/4 - √3) a² = (1 + 1 - √3) a² = (2 - √3) a² ,
donc AM = √(2 - √3) a .
3) On a : sin(pi/12) = MJ/AM = ((1 - √3/2) a)/(√(2 - √3) a)
= (2 - √3)/(2√(2 - √3)) ,
et cos(pi/12) = AJ/AM = (a/2)/(√(2 - √3) a) car AJ = AB/2 = a/2 ,
= 1/(2√(2 - √3)) .
Conclusion : sin(pi/12) = (2 - √3)/(2√(2 - √3)) et cos(pi/12) = 1/(2√(2 - √3)) .
