Bonjour,
1)a)
f(x) = (3x² + 1)/(x² + 3)
f'(x) = [6x(x² + 3) - 2x(3x² + 1)]/(x² + 3)²
= [6x³ + 18x - 6x³ - 2x]/(x² + 3)²
= 16x/(x² + 3)²
Sur [0;+∞[, f'(x) ≥ 0
x 0 +∞
f'(x) 0 +
f(x) 1/3 croissante
b) n+1>n et f est croissante sur [0;+∞[ ⇒ Un+1 > Un
et donc (Un) est croissante.
2)a)
lim f(x) quand x→+∞
= lim 3x²(1 + 1/3x²)/x²(1 + 3/x²)
= lim 3x²/x² car lim(1/3x²) = 0 et lim(3/x²) = 0
= 3
Donc quel que soit n, f(n) < 3 ⇒ Un < 3
b)
Pour tout n ≥ m, Un ∈ ]2,9999;3[
⇔ Pour tout n ≥ m, 2,9999 < f(n) < 3
On cherche donc un entier m tel que :
f(m) > 2,9999
⇔ (3m² + 1)/(m² + 3) > 2,9999
⇔ 3m² + 1 > 2,9999(m² + 3)
⇔ (3 - 2,9999)m² > 3x2,9999 - 1
⇔ 0,0001m² > 3(3 - 0,0001) - 1
⇔ m² > (8 - 0,0003)/0,0001
⇔ m² > 79997
⇒ m > √(79997)
√(79997) = 282,83...
Donc le plus petit entier naturel tel que f(m) ∈ ]2,9999;3[ est m = 283
Voir courbe ci-joint
