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Un centre nautique possède l'enseigne lumineuse ci-dessous en forme de triangle ABC rectangle en A. On a AB=3m et AC=4m.
M,N et P sont des points des côtes de ce triangle tels que AMNP soit un rectangle.
On note x la longueur AM en m et A(x) l'aire en m^2 du rectangle AMNP.
On admet que x appartient [0;4]
1) démontrer que MN=3-0,75x.
2)démontrer que, A(x)=-0,75(x-2)^2+3.
3) dresser le tableau de variation de la fonction A : x--> A(x).
Quel est le maximum de cette aire? À qu'elle position du point M cela correspond-il ?
Merci de votre aide et de vos réponses :)

Un Centre Nautique Possède Lenseigne Lumineuse Cidessous En Forme De Triangle ABC Rectangle En A On A AB3m Et AC4m MN Et P Sont Des Points Des Côtes De Ce Trian class=

Sagot :

Bonjour ;

1) Le quadrilatère AMNP est un rectangle , donc les droites (MN) et (AB) sont parallèles .
Les droites (AM) et (BN) se coupent au point C , donc les conditions d'application du théorème de Thales au triangle CAB sont vérifiées ,
donc on a :

MN/AB = CM/CA donc MN/3 = (CA - AM)/4 = (4 - x)/4 = 1 - 1/4 x = 1 - 0,25x
donc : MN = 3 - 0,75x .

2) A(x) = AM * MN = x(3 - 0,75x) = 3x - 0,75x² = - 0,75(x² - 4x)
= - 0,75(x² - 4x + 4 - 4) = - 0,75((x - 2)² - 4) = - 0,75(x - 2)² + 3 .

3) A(x) = 0 donc x(3 - 0,75x) = 0 donc x = 0 ou 3 - 0,75x = 0
donc x = 0 ou 3 = 0,75x donc x = 0 ou x = 3/0,75 = 4 .

De plus A(x) = - 0,75(x - 2)² + 3 , donc A est maximale quand - 0,75(x - 2)² = 0
donc quand x - 2 = 0 donc quand x = 2 : la valeur maximale est A(2) = 3 ,
donc le maximum est au point de coordonnées : (2 ; 3) .
 
                   x                              0                            2                      4
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 3
                                                                           /               \  
A(x) = - 0,75x² + 3x                                 /                               \
                                                   0                                                    0                                         

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