Bonjour
Noe972
[tex]C(x)=x^3-100x^2+3000x+200[/tex]
[tex]1)\ \boxed{C'(x)=3x^2-200x+3000}[/tex]
2) Le prix de vente d'une tonne est 600 €.
D'où le prix de vente de x tonnes est égal à 600x €.
Le coût marginal est inférieur au prix de vente si [tex]3x^2-200x+3000\ \textless \ 600x[/tex]
[tex]3x^2-200x-600x+3000\ \textless \ 0\\\\3x^2-800x+3000\ \textless \ 0\\\\\Delta=(-800)^2-4\times3\times3000=604000\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{800-\sqrt{604000}}{6}\approx3,8\\\\x_2=\dfrac{800+\sqrt{604000}}{6}\approx262,86\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\approx3,8&&\approx262,86&&+\infty\\3x^2-800x+3000&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\Longrightarrow3x^2-200x-600x+3000\ \textless \ 0\Longleftrightarrow\boxed{x\in\ ]3,8\ ;\ 262,86[}[/tex]
Or x ∈ ]0 ; 60[
D'où le coût marginal est inférieur au prix de vente si la quantité de produit fabriqué est comprise entre 3,8 tonnes et 60 tonnes.
3) Bénéfice = Prix de vente - Coût de production.
[tex]B(x)=600x-(x^3-100x^2+3000x+200)\\\\B(x)=600x-x^3+100x^2-3000x-200\\\\\boxed{B(x)=-x^3+100x^2-2400x-200}[/tex]
En utilisant le tableur de la calculatrice, nous déduisons que B(x) sera maximal si x vaut environ 51.
Par conséquent, le bénéfice sera maximal pour environ 51 tonnes de produit fabriqués.
