Bonjour
Yacine931
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex](e^{i\theta})^n=e^{in\theta}[/tex]
Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour le plus petit entier naturel n, soit pour n=0.
[tex](e^{i\theta})^n=(e^{i\theta})^0=\boxed{1}\\\\e^{in\theta}=e^{i\times0\times\theta}=e^0=\boxed{1}\\\\\Longrightarrow\ Si\ \ n=0,\ alors\ (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}[/tex]
D'où, l'initialisation est vraie.
Hérédité :
Montrons que pour n fixé, si la propriété est vraie à l'étape n, alors elle sera également vraie à l'étape (n+1).
Supposons donc que [tex](e^{i\theta})^n=e^{in\theta}[/tex]
Montrons que [tex]\boxed{(e^{i\theta})^{n+1}=e^{i(n+1)\theta}}[/tex]
En effet,
[tex](e^{i\theta})^{n+1}=(e^{i\theta})^{n}\times(e^{i\theta})^{1}\\\\(e^{i\theta})^{n+1}=(e^{i\theta})^{n}\times e^{i\theta}\\\\(e^{i\theta})^{n+1}=e^{in\theta}\times e^{i\theta}\ \ (en\ utilisant\ l' hypoth\grave{e}se)\\\\(e^{i\theta})^{n+1}=e^{in\theta+i\theta}\\\\\Longrightarrow\boxed{(e^{i\theta})^{n+1}=e^{i(n+1)\theta}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, alors nous avons démontré que pour tout entier naturel n, [tex](e^{i\theta})^n=e^{in\theta}[/tex]
