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Sagot :
Bonjour
Gamelinmaeva
1) x² > 25
x² - 25 > 0
(x + 5)(x - 5) > 0
Tableau de signes de (x + 5)(x - 5)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-5&&5&&+\infty \\x+5&&-&0&+&+&+&\\x-5&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+5)(x-5)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+5)(x-5)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty\ ;\ -5[\ \cup\ ]5\ ;\ +\infty[[/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty\ ;\ -5[\ \cup\ ]5\ ;\ +\infty[}[/tex]
2) 4 ≤ x² ≤ 7
Résolvons d'abord l'inéquation : 4 ≤ x²
x² - 4 ≥ 0
(x + 2)(x - 2) ≥ 0
Tableau de signes de (x + 2)(x - 2)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&2&&+\infty \\x+2&&-&0&+&+&+&\\x-2&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+2)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+2)(x-2)\ge0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[[/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation 4 ≤ x² est [tex]\boxed{S_1=]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[}[/tex]
Résolvons ensuite l'inéquation : x² ≤ 7
x² - 7 ≤ 0
[tex](x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})\le0[/tex]
Tableau de signes de [tex](x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{7}&&\sqrt{7}&&+\infty \\x+\sqrt{7}&&-&0&+&+&+&\\x-\sqrt{7}&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-\sqrt{7}\ ;\ \sqrt{7}][/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation x² ≤ 7 est [tex]\boxed{S_2=[-\sqrt{7}\ ;\ \sqrt{7}]}[/tex]
L'ensemble des solutions des inéquations 4 ≤ x² ≤ 7 est l'ensemble des solutions communes à [tex]S_1[/tex] et à [tex]S_2[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions des inéquations 4 ≤ x² ≤ 7 est [tex]\boxed{S=S_1\cap S_2=[-\sqrt{7}\ ;\ -2]\cup[2\ ; \sqrt{7}]}[/tex]
1) x² > 25
x² - 25 > 0
(x + 5)(x - 5) > 0
Tableau de signes de (x + 5)(x - 5)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-5&&5&&+\infty \\x+5&&-&0&+&+&+&\\x-5&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+5)(x-5)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+5)(x-5)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty\ ;\ -5[\ \cup\ ]5\ ;\ +\infty[[/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty\ ;\ -5[\ \cup\ ]5\ ;\ +\infty[}[/tex]
2) 4 ≤ x² ≤ 7
Résolvons d'abord l'inéquation : 4 ≤ x²
x² - 4 ≥ 0
(x + 2)(x - 2) ≥ 0
Tableau de signes de (x + 2)(x - 2)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&2&&+\infty \\x+2&&-&0&+&+&+&\\x-2&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+2)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+2)(x-2)\ge0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[[/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation 4 ≤ x² est [tex]\boxed{S_1=]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[}[/tex]
Résolvons ensuite l'inéquation : x² ≤ 7
x² - 7 ≤ 0
[tex](x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})\le0[/tex]
Tableau de signes de [tex](x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{7}&&\sqrt{7}&&+\infty \\x+\sqrt{7}&&-&0&+&+&+&\\x-\sqrt{7}&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})&&+&0&-&0&+&\\\end{array}\\\\\\(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-\sqrt{7}\ ;\ \sqrt{7}][/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation x² ≤ 7 est [tex]\boxed{S_2=[-\sqrt{7}\ ;\ \sqrt{7}]}[/tex]
L'ensemble des solutions des inéquations 4 ≤ x² ≤ 7 est l'ensemble des solutions communes à [tex]S_1[/tex] et à [tex]S_2[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions des inéquations 4 ≤ x² ≤ 7 est [tex]\boxed{S=S_1\cap S_2=[-\sqrt{7}\ ;\ -2]\cup[2\ ; \sqrt{7}]}[/tex]
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