Bonjour
1)
variations
de f
on
cherche la dérivée de f(x)
f ' (x) = 2x²
+5 x -3
méthode
du discriminant pour 2x²+5x -3
Δ= b²-4ac
= (5)²- 4 ×
2 × (-3)=25+24
=49=7²
x1 = (-b-√Δ) / (2a)
=( -(5)
-7) /(2×2)
= -12 /4
= -3
x2
= (-b+√Δ) /(2a)
=( -(5) +7) /(2×2)
=2 /4
=1/2
forme factorisée de f '(x)
f '(x)
= 2 (x+3) (x-1/2)
théorème :
un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines.
la
dérivée est du signe de a donc > 0 à l'extérieur des racines
et
< 0 à l'intérieur des racines
signe de f'(x)
de
]- ∞ ; -3[ f'(x) est du signe
+
de
]-3 ; ½[ f'(x) est du signe -
de
½ ; +∞ f'(x) est du signe +
f(-3
) = 19/2
f(1/2)
= -115/24
voir
tableau de variations joint
si la dérivée est positive , alors la fonction f est croissante
si la dérivée est négative, alors la fonction f est décroissante
2)
voir
graphique joint
3)
Équation
de la tangente en xo = 1
f(1)
=2/3 +5/2 -3 -4
=-23/6
f
'(1)=4
formule
de la tangente : (voir cours)
y
= f '(xo) (x-xo) + f(xo)
y =
f '(1) (x-1) + f(1)
on remplace par les valeurs numériques:
y=
4(x-1) -23/6
y=4x-4
-23/6
y
= 4x - 47/6
4)
Il y a 2 point
d'intersections de la courbe de f et de la tangente en x= 1
f(x)
=y
2/3
x^3 +5/2 x² -3x -4 = 4x- 47/6
2/3
x^3 +5/2 x² -3x -4 - 4x+ 47/6 = 0
1er point d'intersection est x = 1
f(1) = -23/6
car
point de tangence
2nd
point d'intersection
(
j'ai utilisé la calculatrice)
x= -23/4
( = - 5,75 )
f( -23/4) = -185/6
donc
les points d'intersection sont :
le
point ( 1; -23/6)
et
(-23/4 ; -185/6)
(
tu peux le voir sur le graphique)
