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Bonjour à tous, comme chaque vacances j'ai un Dm de maths et je galère vraiment sur cette exo, toute aide est la bienvenue merci
EX3: On considère la suite (Un) définie par u0=3, et par la relation, pour tout entier naturel n, Un+1= -1/2Un+1

a. calculer u1, u2 et déterminer si la suite est de nature arithmétique ou géométrique
b. On pose, pour tout entier n, Wn= 3Un-2
Calculer w0,w1 et w2
3. Prouver que Wn est géométrique
4 déterminer alors la limite de Un

merci de vos aides

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

1)

U₀ = 3 et Un+1 = -Un/2 + 1

a) U₁ = U₀₊₁ = -U₀/2 + 1 = -3/2 + 1 = -1/2

U₂ = U₁₊₁ = -U₁/2 + 1 = 1/4 + 1 = 5/4

U₀/U₁ = 3/(-1/2) = -6
U₁/U₂ = (-1/2)/(5/4) = -4/8 = -1/2

U₀/U₁ ≠ U₁/U₂ ⇒ (Un) n'est pas géométrique.

U₁ - U₀ = -1/2 - 3 = -7/2
U₂ - U₁ = 5/4 - (-1/2) = 7/4

U₁ - U₀ ≠ U₂ - U₁ ⇒ (Un) n'est pas arithmétique.

b) Wn = 3Un - 2

Wn+1 = 3Un+1 - 2
Wn+1 = 3(-Un/2 + 1) - 2
Wn+1 = -3Un/2 +1
Wn+1 = -1/2(3Un - 2)
Wn+1 = 3Wn

⇒ (Wn) est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :

W₀ = 3U₀ - 2 = 7

4) On en déduit que Wn = 7x3ⁿ

Or Wn = 3Un - 2

Donc Un = (Wn + 2)/3

Soit Un = (7x3ⁿ + 2)/3

⇒ lim Un quand n → +∞ = +∞
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