Bonjour,
f(x) = a(x - α)² + β
⇔ f(x) - β = a(x - α)²
(x - α)² est toujours positif (ou nul pour x = α)
Donc f(x) - β est du signe de a :
a -∞ - 0 + +∞
f(x) - β - 0 +
Quand a < 0, [f(x) - β] < 0 donc f(x) < β. On en déduit que f admet alors un maximum égal à β. Ce maximum est atteint pour x = α.
Quand a = 0, [f(x) - β] = 0 donc f(x) = β. f est une fonction constante égale à β.
Quand a > 0, [f(x) - β] > 0 donc f(x) > β. On en déduit que f admet alors un minimum égal à β. Ce minimum est atteint pour x = α.
D'où l'intérêt de la forme canonique d'une fonction du second degré pour déterminer son extremum.
