Bonjour Josephine1419,
Les questions 1 et 2 ont permis de conclure qu'une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est : y = x – 2
Question 3
g(x) = x – 2
a) Etudier le signe de la différence d(x) = f(x) - g(x)
[tex]d(x)=f(x)-g(x)\\\\d(x)=(x^3-2x)-(x-2)\\\\ d(x)=x^3-2x-x+2\\\\ d(x)=x^3-3x+2[/tex]
Etudions le signe de la dérivée d’(x) sur l’intervalle [0; +oo[
[tex]d'(x)=3x^2-3\\\\d'(x)=3(x^2-1) \\\\d'(x)=3(x+1)(x-1)[/tex]
Or x ∈ [0; +oo[ ==> x ≥ 0 ==> x + 1 > 0 ==> 3(x + 1) > 0
Donc le signe de d’(x) est le signe de (x – 1).
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\d'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\d(x)&2&\searrow&0&\nearrow &\\\end{array}[/tex]
D’où, sur l’intervalle [0; +oo[, la fonction d définie par d(x) = f(x) – g(x) admet un minimum égal à 0.
Par conséquent, pour toutes les valeurs de x ∈ [0 ; +oo[, f(x) - g(x) ≥ 0.
b) La position relative de la courbe de f par rapport à sa tangente au point d'abscisse 1 est donnée par le signe de f(x) - g(x)
Puisque f(x) - g(x) ≥ 0 pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle [0 ; +oo[, nous en déduisons que la courbe de f est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1
