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Colinurgent
Answered

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Bonjour , pouvez vous m'aider ? :)

Problème : maximisation d'une aire
Un terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en B, de dimensions AB = 20 m et BC = 30 m. Soit M
un point quelconque de l'hypoténuse [AC], N son projeté orthogonal sur [AB] (ce qui signie : N ∈ [AB] et
(MN) ⊥ (AB)) et P son projeté orthogonal sur [BC] (ce qui signie : P ∈ [BC] et (MP) ⊥ (BC)). Le rectangle
MP BN représente la partie du terrain qui sera occupée par une maison. On veut que son aire soit la plus grande
possible.
1. On note y = NB et x = P B les dimensions au sol de la maison.
a) À l'aide du théorème de Thalès, exprimer y en fonction de x.
b) En déduire que l'aire du terrain occupé par la maison s'exprime en fonction de x par f(x) = −2/3 x²+ 20 x.
Quel est l'intervalle de définition de cette fonction ?

Merci de m'aider , bonne vacances ! ( j'ai mis 19 points pour une bonne reponse ^^ )

Sagot :

Bonjour  Colinurgent

1) a) Selon l'énoncé nous savons que :

BC = 30
NM = BP = x ==> NM = x
AB = 20
AN = AB - NB = 20 - y ==> AN = 20 - y

Par Thalès dans le triangle ABC, 

[tex]\dfrac{BC}{NM}=\dfrac{AB}{AN}\\\\\\\dfrac{30}{x}=\dfrac{20}{20-y}\\\\30\times(20-y)=20\times x\\30(20-y)=20x\\3(20-y)=2x\\60-3y=2x\\3y=60-2x\\\\y=\dfrac{60}{3}-\dfrac{2x}{3}}\\\\\boxed{y=20-\dfrac{2}{3}x}[/tex]


b) L'aire du terrain est l'aire d'un rectangle dont les mesures des côtés sont BC = x et NB = y

Donc 

[tex]Aire_{rectangle\ MPBN}=x\times y\\\\Aire_{rectangle\ MPBN}=x\times(20-\dfrac{2}{3}x)\\\\Aire_{rectangle\ MPBN}=20x-\dfrac{2}{3}x^2\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=-\dfrac{2}{3}x^2+20x}[/tex]
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