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bonjour a tous j'ai un xoucis pour les probalites
dans un etablissement scolaire on a interroge 480 eleves sur leur sejour en espagne en italie et allemangne
111 eleves ont sejournes en allemagne:
218 ont sejourne en italie et en espagne
105 ont sejourne en italie et espagne
100 ont sejourne en italie et allemagne
93 ont sejoune en espagne et allemagne
60 eleves ont sejoune nul part
le proviseur annonce qu'il est sur que si il interroge un eleve au hazrd il a 15 chance sur 100 que cet eleve a sejourne dans les 3 pays
a t-il raison ?

merci pour votre aide svp


Sagot :

Greencalogero
Il va falloir mettre des notations en place :
Soit A : "être allé en Allemagne" E: "être allé en Espagne" et I: "être allé en Italie" et N: être allé nul part" et P(A), P(E), P(I) et P(N), leur probabilité respective. On appelle ω le nombre totale d'élève soit ω=480 élèves.
On cherche à prouver que P(A∩E∩I)=15/100.
On peut écrire la relation suivante :
P(A∪E∪I)=P(A)+P(E)+P(I)-P(A∩E)-P(A∩I)-P(E∩I)+P(A∩E∩I)
La probabilité P(A∪E∪I) est le contraire que la probabilité d’être allé nul-part donc on peut écrire :
P(A∪E∪I)=1-P(N)=1-(60/480)=420/480
Toutes les probabilités de la relation sont connus grâce à l'énoncé donc on peut écrire :
(420/480)=((111+217+218-105-100-93)/480)+P(A∩E∩I) d'où :
420/480=(248/480)+P(A∩E∩I) d'où :
P(A∩E∩I)=(420-248)/480=(172/480)=(43/120) qui est différent de (15/100) donc le proviseur à tord.
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