1. ABCDEFGH est un cube tel que AB = 3cm
Donc toutes les arrêtes de ce cube mesurent 3cm.
Donc FI = FJ = FK = 1.5cm
FJK est un triangle rectangle en F. D'après le théorème de Pythagore :
JK² = FJ²+FK² = (1.5)²+(1.5)² = 2.25+2.25 = 4.5cm
Donc JK = (3√2)/2 cm
On fait de même pour JI et IK. On trouve également (3√2)/2 cm.
Soit β l'aire du triangle IJK. Pour la calculer, il faut calculer d'abord la hauteur du triangle. Comme IJK est équilatéral, alors h = a(√3)/2 avec a le côté du triangle. Donc h = ((3√2)/2)((√3)/2) = (3√6)/4 cm
Donc β = ah/2 = ((3√2)/2)((3√6)/4) = (9√3)/4 cm²
On calcule ensuite la hauteur du tétraèdre FIJK de sommet F.
Soit M le milieu de JK.
Donc MI = h = (3√6)/4 cm
Soit N le milieu de MI. Donc NI = MN = ((3√6)/4)(1/2) = (3√6)/8 cm
Le triangle FNI est rectangle en N.
Donc FI² = FN²+NI² ⇒ FN² = FI²-NI² ⇒ FN² = (1.5)²-((3√6)/8)² = 45/32
Donc FN = (3√10)/8 cm
Donc l'aire α du tétraèdre FIJK est :
α = (1/3)*β*FN = (9√30)/32 cm³
Bon il est temps que je me couche, c'est vraiment très très long. Mais bon, j'ai fait le plus pénible...
