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Bonjour voici un exo de terminale S que je n'arrive pas à résoudre:

Voici la fonction f(x) = [tex] \frac{x}{ x^{2} +x+1} [/tex]
1. Vous montrerez que la fonction f réalise une bijection de [-1;1] sur un intervalle que vous expliciterez. On nomme cet intervalle M.
2. h est la fonction réciproque de f. Donner le domaine où est défini h ainsi que ses variations.
3. la fonction h est-elle dérivable en ces points et si oui calculer les dérivées qui correspondent : 0 ; [tex] \frac{1}{3} [/tex] ; -[tex] \frac{2}{3} [/tex] ; [tex] \frac{3}{13} [/tex] et -1

Vous préciserez enfin l'intervalle de dérivabilité de h.

Voici mes réponses pour le moment :
1. f est dérivable sur R car fonction rationelle (et le dénominateur ne s'annule pas). Avec le tableau de variation j'ai montré que f réalise bien une bijection de [-1;1] vers M=[-1;[tex] \frac{1}{3} [/tex] ] (-1 et 1/3 correspondent à f(1) et f(-1) ).

2. Je sèche totalement je ne sais pas quoi faire du tout.
3. idem vu que je n'ai pas la réponse à la question 2


Merci d'avance pour votre aide!

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

domaine de définition de h : [-1:1/3]

on étudie les variations de f.

f'(x) = (1 - x²)/(x² + x + 1) > sur ]-1:1[

donc f croissante sur [-1;1]

On en déduit que h est également croissante sur [-1:1/3] (théorème)

x      -1                         1/3
h(x)             crois.

3) Par symétrie des courbes de f et de par rapport à y = x, h'(x) = 1/f'(x) (et théorème de cours)

h est donc dérivable sur son domaine de définition SI f'(x) ≠ 0
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