1) C'est du dessin, je te le laisse.
2) Pour débuter la démonstration; nous prenons la relation vectorielle donnée au 1 donc:
OE=OA+OB
OE=OA+OC+CB comme ABCD est un parallélogramme donc O est au milieu de la diagonale AC donc AO=OC donc -OA=OC donc:
OE=-OC+OC+CB donc OE=OC
De plus, on a aussi:
OE=OA+OB
OB+BE=OC+CA+OB comme CA=2CO car ABCD parallélogramme de centre O et que les OB s'annulent donc:
BE=OC+2CO
BE=CO
On a donc montré que le quadrilatère OCBE à ses côtés opposés qui sont parallèles et égaux 2 à 2 donc le quadrilatère OCBE est un parallélogramme.
3) C'est du dessin, je te le laisse.
4) Pour faire cette démonstration, nous partons de la relation vectorielle 3 donc:
OF=OD-BE
OF=OD+BE
OE+EF=OD+EO+OB comme O milieu de BD car ABCD parallélogramme de centre O donc O milieu de la diagonale BD donc OD=-OB d'où:
OE+EF=-OB+EO+OB
EF=2EO Donc O est bien le milieu de EF
5) D'après la question 2, nous savons que ABCD est un parallélogramme de centre O donc on a O milieu de la diagonale [BD]. De plus, par la question 4, on sait que O est le milieu de [EF]. Il vient que O est le milieu des 2 diagonales du quadrilatère DFBE qui est donc un parallélogramme.
