1. f est dérivable pour tout réel x.
f est de la forme u/v avec :
u(x) = x²-4x+7 et v(x) = x²+3
u'(x) = 2x-4 et v'(x) = 2x
Donc f'(x) = ((2x-4)(x²+3)-(x²-4x+7)(2x))/((x²+3)²) = (2x³+6x-4x²-12-2x³+8x²-14x)/((x²+3)²) = (4x²-8x-12)/((x²+3)²)
2. Soit l'équation f'(x) = 0
Donc (4x²-8x-12)/((x²+3)²) = 0 ⇒ 4x²-8x-12 = 0
Δ = 64+16*12 = 256
Δ > 0 donc l'équation admet deux solutions :
x = (8-16)/8 = -1 et x = (8+16)/8 = 3
Donc f' s'annule en -1 et en 3.
Comme, dans f'(x) = ax²+bx+c , a = 4 > 0 , alors f' est croissante puis décroissante.
Donc logiquement, f' est positive sur [-1;3] et est négative sur ]-∞;-1]∪[3;+∞[
Donc f est décroissante sur ]-∞;-1], puis croissante sur [-1;3], puis décroissante sur [3;+∞[.
f(-1) = 3 et f(3) = 1/3
On calcule enfin les limites de f.
Comme f est un quotient de deux polynômes :
[tex] \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^2/x^2 = \lim_{x \to -\infty} 1 = 1[/tex]
Et [tex] \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^2/x^2 = \lim_{x \to +\infty} 1 = 1[/tex]
On établit enfin le tableau de variations complet (voir pièce-jointe).
3. L'équation de T à Cf en 1 est (T) : y = f'(1)(x-1)+f(1) = -1(x-1)+1 = -x+1+1 = -x+2
4. Voir pièce-jointe
