Bonjour,
Exercice 1 :
PARTIE A
1. La réponse est en pièce-jointe.
2. D∩O : "L'élève sélectionné a choisi le parcours diplômant et de faire partie d'un orchestre"
3. (D;L) forment une partition. D'après la formule des probabilités totales :
p(O) = p(D∩O)+p(L∩O) = [tex]p(D)* p_{D}(O)+p(L)* p_{L}(O) = 0.3*0.35+0.7*0.2 = 0.245[/tex]
4. [tex]p_{O}(D)[/tex] = (p(O∩D))/(p(O)) = 0.3*0.35/0.245 ≈ 0.4286
PARTIE B
1. X~β(450;0.65)
Donc E(X) = np = 450*0.65 = 292.5
2. [tex]p(X=300)= \left[\begin{array}{cc}450\\300\\\end{array}\right] * (0.65)^{300}* (1-0.65)^{450-300} \approx 0.0302[/tex]
3. D'après la calculatrice :
[tex]p(X\leq300) \approx 0.7849[/tex]
Exercice 2 :
PARTIE A :
La réponse est en pièce-jointe.
PARTIE B :
1. D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n :
[tex] \left \{ {v_{0}=3500} \atop {v_{n+1}=1.035v_{n}} \right. [/tex]
Donc la suite [tex](v_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison [tex]q=1.035[/tex] et de premier terme [tex]v_{0} = 3500[/tex]
2. Pour tout entier naturel n :
[tex]v_n=v_0*q^n = 3500*(1.035)^n[/tex]
3. Le 1er avril 2019 correspond au 24e terme, donc à [tex]v_{23}[/tex].
Donc [tex]v_{23}=3500*(1.035)^{23}\approx 7721.4007[/tex]
7721.4007 < 8701 donc le capital constitué le 1er avril 2019 ne sera pas suffisant.
Exercice 3 :
PARTIE A
1. On place les coordonnées du tableau et on trace une droite passant au milieu de ces points. On trouve à peu près y = -9x+165.
Voir le graphe en pièce jointe.
2. a. Soit la droite d'équation y = -9x+166
Si x = 13, alors y = -9(13)+166 = 49
b. Soit y = 100, on a don l'équation suivante :
100 = -9x+166 ⇒ 9x = 66 ⇒ x = 22/3
PARTIE B
1. Pour le plat du jour est de 14€, donc il y a 39 clients d'après le tableau. Soit la recette R.
Donc R = 14*39 = 546€
2. a. Soit la fonction f définie sur [7;17]. f est la recette.
Donc f(x) = x*y
Or y = -9x+166
Donc f(x) = x(-9x+166) = -9x²+166x
b. f est dérivable sur [7;17] comme somme de fonctions dérivables sur [7;17].
f'(x) = -18x+166
c. f' s'annule en (-166)/(-18), donc en 166/18, donc en 83/9.
Comme -18 < 0, alors f' est positive sur ]-∞;83/9] puis négative sur [83/9;+∞[
Donc f est croissante sur ]-∞;83/9] puis décroissante sur [83/9;+∞[.
f(83/9) = -9(83/9)²+166(83/9) = 6889/9
On calcule enfin les limites en -∞ et en +∞.
f est une fonction polynôme donc sa limite en l'infini correspond à celle de son plus haut coefficient.
Donc [tex] \lim_{n \to -\infty} f(x) = \lim_{n \to -\infty} -9x^2 = -\infty[/tex]
Et [tex] \lim_{n \to +\infty} f(x) = \lim_{n \to +\infty} -9x^2 = -\infty[/tex]
On peut désormais établir le tableau de variations, qui se trouve en pièce-jointe.
d. D'après le tableau de variations, le restaurateur doit fixer 83/9 € au plat du jour pour que la recette soit maximale. Dans ce cas, il sert 6889/9 plats du jour.
