Bonjour,
Exercice 1 :
1. Voir pièce-jointe.
2. a. f(x) ≤ 0 pour x∈[1/2;+∞[
b. g(x) ≥ 0 pour x∈[7;+∞[
3. (E) : f(x) = g(x) ⇒ -2x+3 = x-7 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3
P∈Cg ⇒ y_P = x_P-7 = (10/3)-7 = -11/3
4. h(1) = f(1) ⇒ a+b = -2+3 = 1
h(5) = g(5) ⇒ 5a+b = 5-7 = -2
Soient les équations :
(E1) : a+b = 1
(E2) : 5a+b = -2
(E2)-(E1) ⇒ 4a = -3 ⇒ a = -3/4
On remplace a dans (E1) pour trouver b :
a+b = 1 ⇒ (-3/4)+b = 1 ⇒ b = 7/4
Donc h(x) = (-3/4)x+(7/4)
Exercice 2 :
1. f(x) = (3x-7)(x-2)-2(x-2)² = (x-2)[(3x-7-2(x-2)] = (x-2)(3x-7-2x+4) = (x-2)(x-3)
2. f(x) = (x-2)(x-3) = x²-3x-2x+6 = x²-5x+6
3. On a une fonction polynôme du second degré, donc de la forme ax²+bx+c.
f peut aussi s'écrire sous la forme canonique, c'est-à-dire f(x) = a(x-α)²+β , avec (α;β) les coordonnées de l'extremum de la fonction.
a = 1
α = -b/2a = 5/2
β = f(α) = (5/2)²-5(5/2)+6 = -1/4
Donc f(x) = (x-(5/2))²-(1/4)
4. a. f(x) = 0 ⇒ (x-2)(x-3) = 0 ⇒ x-2 = 0 ou x-3 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 3
b. f(x) = 6 ⇒ x²-5x+6 = 6 ⇒ x²-5x = 0 ⇒ x(x-5) = 0 ⇒ x = 0 ou x-5 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5
c. β = -1/4
De plus, a =1 > 0 donc l'extremum β est en fait le minimum de f. Donc -1/4 est le minimum de f.
