Bonjour,
Partie A
f₁(x) = xe⁻ˣ
1) lim f(x) quand x → -∞ = -∞
et lim f(x) quand x → +∞ = 0⁺(théorème croissances comparées)
⇒ C₁ a pour asymptote horizontale la droite d'équation y = 0.
2) f'₁(x) = e⁻ˣ - xe⁻ˣ = (1 - x)e⁻ˣ
x -∞ 1 +∞
f'₁(x) + 0 -
f₁(x) -∞ crois. 1/e décrois. 0⁺
3) g'₁(x) = -e⁻ˣ + (x + 1)e⁻ˣ
= e⁻ˣ(-1 + x + 1)
= xe⁻ˣ
= f₁(x)
Donc g₁ est une primitive de f₁ sur R.
4) f₁(x) est du signe de x car e⁻ˣ>0 pour tout x réel. Donc :
x -∞ 0 +∞
f₁(x) - 0 +
5) Sur [0;ln(10)], f₁ est positive.
Donc l'aire limitée par C₁, x=0 et x=ln(10) vaut :
Somme de 0 à ln(10) de f₁(x)dx
= g₁(ln(10) - g₁(0)
= [-(ln(10) + 1)e^(-ln(10))] - [-(0 + 1)e⁰]
= (-ln(10) - 1)/10 + 1
environ 0,67 unités d'aire
Partie B
1) Quel que soit k, fk(0) = 0.
Donc toutes les courbes Ck passent par l'origine.
2) a)
f'k(x) = ke^(-kx) - k²xe^(-kx)
= k(1 - kx)e^(-kx)
b) f'k s’annule pour (1 - kx) = 0 soit x = 1/k.
Donc fk admet un maximum en x = 1/k
soit fk(1/k) = k.(1/k).e^(-k.1/k) = 1.e⁻¹ = 1/e
Donc sommet (1/k;1/e)
c) C₂ atteint son maximum en x=1/2. Ca atteint son maximum en x=0,1 (approximativement).
0,1 < 1/2 donc a > 2
d)
T : y = f'b(0)x + fb(0)
soit y = bx + 0 = bx
Sur le graphique on lit que le coefficient directeur de la tangente en x=0 à Cb vaut :
0,6/0,2 = 3
On en déduit : b = 3
