Sagot :
Bonjour Laura661
Exercice 104
[tex]1)\ f(x)=x^2+2x-1\\\\f'(x)=2x+2\\\\\boxed{f'(x)=2(x+1)}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&-2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≤ -2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le minimum de la fonction f est égal à -2 [c'est-à-dire que l'on a : f(x) ≥ -2] et que ce minimum est atteint pour x = -1.
D'où, la solution de l'inéquation f(x) ≤ -2 est x = -1.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ -2 est [tex]\boxed{S=\{-1\}}[/tex]
Exercice 105
[tex]1)\ f(x)=x^2-2x+3\\\\f'(x)=2x-2\\\\\boxed{f'(x)=2(x-1)}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) < 0
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le minimum de la fonction f est égal à 2 > 0.
Il n’existe donc pas de valeur de x telle que l'on ait f(x) < 0.
D'où, l'inéquation est impossible.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < 0 est [tex]\boxed{S=\varnothing}[/tex]
Exercice 106
[tex]1)\ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x-2\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\times2x+1\\\\\boxed{f'(x)=-x+1}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\f(x)&&\nearrow&-\dfrac{3}{2}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≥ -1/2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le maximum de la fonction f est égal à -3/2, c'est-à-dire que l'on a : f(x) ≤ -3/2
Il n'existe donc pas de valeur de x telle que l'on ait : f(x) ≥ -1/2.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ -1/2 est [tex]\boxed{S=\varnothing}[/tex]
Exercice 109
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\\\\f'(x)=\dfrac{(x-1)'\times(x+2)-(x-1)\times(x+2)'}{(x+2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\times(x+2)-(x-1)\times1}{(x+2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x+2-x+1}{(x+2)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-2&&+\infty\\f'(x)&&+&||&+&\\&&&&&\\f(x)&1&\nearrow&||&\nearrow&1\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 1
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ 1 est [tex]\boxed{S=]-\infty;-2[}[/tex]
Exercice 110
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\\\\f'(x)=\dfrac{(x+2)'\times(x-3)-(x+2)\times(x-3)'}{(x-3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\times(x-3)-(x+2)\times1}{(x-3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x-3-x-2}{(x-3)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-5}{(x-3)^2}\ \textless \ 0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\\\\\boxed{f(x)=2}\Longleftrightarrow\dfrac{x+2}{x-3}=2\\\\\Longrightarrow x+2=2(x-3)\\\\\Longrightarrow x+2=2x-6\\\\\Longrightarrow 2x-x=2+6\\\\\Longrightarrow\boxed{x=8}[/tex]
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&3&&8&&+\infty\\f'(x)&&-&||&-&-&-&\\&&&&&\\f(x)&1&\searrow&||&\searrow&2&\searrow&1\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ 2 est [tex]\boxed{S=]-\infty;3[\cup]8;+\infty[}[/tex]
Exercice 111
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+1)'\times(x+1)-(2x+1)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2\times(x+1)-(2x+1)\times1}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\\\\\boxed{f(x)=3}\Longleftrightarrow\dfrac{2x+1}{x+1}=3\\\\\Longrightarrow2x+1=3(x+1)\\\\\Longrightarrow2x+1=3x+3\\\\\Longrightarrow3x-2x=1-3\\\\\Longrightarrow\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&-1&&+\infty\\f'(x)&&+&+&+&||&+&\\&&&&&\\f(x)&2&\nearrow&3&\nearrow&||&\nearrow&2\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) > 3
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 3 est [tex]\boxed{S=]-2;-1[}[/tex]
Exercice 104
[tex]1)\ f(x)=x^2+2x-1\\\\f'(x)=2x+2\\\\\boxed{f'(x)=2(x+1)}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&-2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≤ -2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le minimum de la fonction f est égal à -2 [c'est-à-dire que l'on a : f(x) ≥ -2] et que ce minimum est atteint pour x = -1.
D'où, la solution de l'inéquation f(x) ≤ -2 est x = -1.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ -2 est [tex]\boxed{S=\{-1\}}[/tex]
Exercice 105
[tex]1)\ f(x)=x^2-2x+3\\\\f'(x)=2x-2\\\\\boxed{f'(x)=2(x-1)}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&\searrow&2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) < 0
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le minimum de la fonction f est égal à 2 > 0.
Il n’existe donc pas de valeur de x telle que l'on ait f(x) < 0.
D'où, l'inéquation est impossible.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < 0 est [tex]\boxed{S=\varnothing}[/tex]
Exercice 106
[tex]1)\ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x-2\\\\f'(x)=-\dfrac{1}{2}\times2x+1\\\\\boxed{f'(x)=-x+1}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\f(x)&&\nearrow&-\dfrac{3}{2}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≥ -1/2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que le maximum de la fonction f est égal à -3/2, c'est-à-dire que l'on a : f(x) ≤ -3/2
Il n'existe donc pas de valeur de x telle que l'on ait : f(x) ≥ -1/2.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ -1/2 est [tex]\boxed{S=\varnothing}[/tex]
Exercice 109
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\\\\f'(x)=\dfrac{(x-1)'\times(x+2)-(x-1)\times(x+2)'}{(x+2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\times(x+2)-(x-1)\times1}{(x+2)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x+2-x+1}{(x+2)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-2&&+\infty\\f'(x)&&+&||&+&\\&&&&&\\f(x)&1&\nearrow&||&\nearrow&1\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 1
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ 1 est [tex]\boxed{S=]-\infty;-2[}[/tex]
Exercice 110
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\\\\f'(x)=\dfrac{(x+2)'\times(x-3)-(x+2)\times(x-3)'}{(x-3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\times(x-3)-(x+2)\times1}{(x-3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x-3-x-2}{(x-3)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-5}{(x-3)^2}\ \textless \ 0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\\\\\boxed{f(x)=2}\Longleftrightarrow\dfrac{x+2}{x-3}=2\\\\\Longrightarrow x+2=2(x-3)\\\\\Longrightarrow x+2=2x-6\\\\\Longrightarrow 2x-x=2+6\\\\\Longrightarrow\boxed{x=8}[/tex]
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&3&&8&&+\infty\\f'(x)&&-&||&-&-&-&\\&&&&&\\f(x)&1&\searrow&||&\searrow&2&\searrow&1\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 2
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ 2 est [tex]\boxed{S=]-\infty;3[\cup]8;+\infty[}[/tex]
Exercice 111
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+1)'\times(x+1)-(2x+1)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2\times(x+1)-(2x+1)\times1}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\ \textgreater \ 0}[/tex]
2) Tableau de variations de f
[tex]f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\\\\\boxed{f(x)=3}\Longleftrightarrow\dfrac{2x+1}{x+1}=3\\\\\Longrightarrow2x+1=3(x+1)\\\\\Longrightarrow2x+1=3x+3\\\\\Longrightarrow3x-2x=1-3\\\\\Longrightarrow\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]N.B.:\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&-1&&+\infty\\f'(x)&&+&+&+&||&+&\\&&&&&\\f(x)&2&\nearrow&3&\nearrow&||&\nearrow&2\\ \end{array}[/tex]
3) Résoudre l'inéquation f(x) > 3
Selon le tableau de variation de f, nous déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 3 est [tex]\boxed{S=]-2;-1[}[/tex]
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