Bonjour,
Exercice 1
Largeur du logo : (10 - x)
Hauteur du logo : (x - 5)
Donc Aire du logo : (10 - x)(x - 5)
Si on appelle f la fonction qui associe à x l'aire du logo, on a :
f(x) = (10 - x)(x - 5)
⇔ f(x) = 10x - 50 - x² + 5x
⇔ f(x) = -x² + 15x - 50
Pour déterminer le maximum :
Si tu es en seconde : forme canonique
Si tu es en première : dérivée
Forme canonique :
f(x) = -(x² - 15x + 50)
⇔ f(x) = -[(x -15/2)² - (15/2)² + 50)]
⇔ f(x) = -[(x - 15/2)² - 225/4 + 200/4]
⇔ f(x) = -[(x - 15/2)² - 25/4]
Donc le maximum est atteint pour x = 15/2 et vaut alors f(15/2) = 25/4.
Les dimensions du logo pour que l'aire soit maximale sont donc :
Largeur : 10 - x = 10 - 15/2 = 5/2 = 2,5 cm
Hauteur : x - 5 = 15/2 - 5 = 5/2 = 2,5 cm
Aire maximale : 2,5 x 2,5 = 6,25 cm²
Dérivée :
f'(x) = -2x + 15
f'(x) = 0 ⇒ x = 15/2
Tableau de variations de f :
x 0 15/2 10
f'(x) + 0 -
f(x) croissante décroissante
la suite étant identique à précédemment.
Exercice 2
C(q) = q² + 30q + 1000 pour q ∈ [0;60]
Soit R la fonction qui associe à q en tonnes, le prix de vente en k€ :
R(q) = 100q
Le bénéfice B(q) s'exprime alors par :
B(q) = R(q) - C(q)
⇔ B(q) = 100q - (q² + 30q + 1000)
⇔ B(q) = -q² + 70q - 1000
La chocolaterie fait des bénéfices si B(q) > 0.
Δ = 70² - 4x(-1)x(-1000) = 4900 - 4000 = 900 = 30²
Donc 2 racines : q₁ = (-70 - 30)/(-2) = 50 et q₂ = (-70 + 30)/(-2) = 20
B(q) sera donc positif pour q ∈ ]20;50[
Bénéfice maximum :
Dérivée : B'(q) = -2q + 70
B'(q) = 0 ⇒ q = 35
Tableau de variations de B :
q 0 35 60
B'(q) + 0 -
B(q) croissante décroissante
Donc B atteint son maximum pour q = 35 tonnes
Et ce maximum vaut : B(35) = -(35)² + 70x35 - 1000 = 225 k€
