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Sagot :
Bonjour,
1)a) La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par le milieu de [AB]. Donc tout point M appartenant à cette médiatrice est à égale distance de A et de B. Soit MA = MB ⇒ MA² = MB².
Réciproquement, si MA² = MB², alors MA = MB. Donc M appartient à la médiatrice de [AB].
b) M(x;y)
MA² = (xA - xM)² + (yA - yM)² = (-2 - x)² + (-2 - y)²
De même, MB² = (7 - x)² + (1 - y)²
c) MA² = MB²
⇔ (-2 - x)² + (-2 - y)² = (7 - x)² + (1 - y)²
⇔ (-2 - x)² - (7 - x)² = (1 - y)² - (-2 - y)²
⇔ (-2 - x + 7 - x)(-2 - x - 7 + x) = (1 - y - 2 - y)(1 - y + 2 + y)
⇔ (-2x + 5)(-9) = (-2y - 1)(3)
⇔ 3(-2x + 5) = (2y + 1)
⇔ 2y = -6x + 15 - 1
⇔ y = -3x + 7
2) (d₂) Médiatrice de [BC]
M(x;y) ∈ (d₂) ⇔ MB² = MC²
MB² = (7 - x)² + (1 - y)²
MC² = (2 - x)² + (6 - y)²
MB² = MC²
⇔ (7 - x)² + (1 - y)² = (2 - x)² + (6 - y)²)
⇔ (7 - x)² - (2 - x)² = (6 - y)² - (1 - y)²
⇔ (7 - x + 2 - x)(7 - x - 2 + x) = (6 - y + 1 - y)(6 - y - 1 + y)
⇔ 5(-2x + 9) = 5(-2y + 7)
⇔ 2y = 7 + 2x - 9
⇔ y = x - 1
3) ...
4) Z centre du cercle circonscrit à ABC.
⇒ Z est l'intersection des médiatrices.
⇒ Z ∈ (d₁) et Z ∈ (d₂)
Soit Z(a;b)
On a alors le système suivant :
b = -3a + 7
b = a - 1
b)
b = a - 1 ⇒ a - 1 = -3a + 7
⇒ 4a = 8 ⇒ a = 2 ⇒ b = 2 - 1 = 1
⇒ Z(2;1)
1)a) La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par le milieu de [AB]. Donc tout point M appartenant à cette médiatrice est à égale distance de A et de B. Soit MA = MB ⇒ MA² = MB².
Réciproquement, si MA² = MB², alors MA = MB. Donc M appartient à la médiatrice de [AB].
b) M(x;y)
MA² = (xA - xM)² + (yA - yM)² = (-2 - x)² + (-2 - y)²
De même, MB² = (7 - x)² + (1 - y)²
c) MA² = MB²
⇔ (-2 - x)² + (-2 - y)² = (7 - x)² + (1 - y)²
⇔ (-2 - x)² - (7 - x)² = (1 - y)² - (-2 - y)²
⇔ (-2 - x + 7 - x)(-2 - x - 7 + x) = (1 - y - 2 - y)(1 - y + 2 + y)
⇔ (-2x + 5)(-9) = (-2y - 1)(3)
⇔ 3(-2x + 5) = (2y + 1)
⇔ 2y = -6x + 15 - 1
⇔ y = -3x + 7
2) (d₂) Médiatrice de [BC]
M(x;y) ∈ (d₂) ⇔ MB² = MC²
MB² = (7 - x)² + (1 - y)²
MC² = (2 - x)² + (6 - y)²
MB² = MC²
⇔ (7 - x)² + (1 - y)² = (2 - x)² + (6 - y)²)
⇔ (7 - x)² - (2 - x)² = (6 - y)² - (1 - y)²
⇔ (7 - x + 2 - x)(7 - x - 2 + x) = (6 - y + 1 - y)(6 - y - 1 + y)
⇔ 5(-2x + 9) = 5(-2y + 7)
⇔ 2y = 7 + 2x - 9
⇔ y = x - 1
3) ...
4) Z centre du cercle circonscrit à ABC.
⇒ Z est l'intersection des médiatrices.
⇒ Z ∈ (d₁) et Z ∈ (d₂)
Soit Z(a;b)
On a alors le système suivant :
b = -3a + 7
b = a - 1
b)
b = a - 1 ⇒ a - 1 = -3a + 7
⇒ 4a = 8 ⇒ a = 2 ⇒ b = 2 - 1 = 1
⇒ Z(2;1)
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