Sagot :
Bonjour Julie888
Exercice 80
La probabilité d'obtenir PILE lors d'un lancer est p = 1/2.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que PILE apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/2.
[tex]\)p(obtenir\ trois\ fois\ PILE)=p(X=3)\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^3(1-\dfrac{1}{2})^{10-3}\\\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^3(\dfrac{1}{2})^{7}\\\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^{10}\\\\\\=120\times\dfrac{1}{1024}=\dfrac{120}{1024}\\\\\\=\dfrac{15}{128}=0,1171875[/tex]
Par conséquent, la probabilité d'obtenir trois fois PILE est égale à 0,1171875.
Exercice 81
L'urne contient 30 boules dont 10 boules blanches et 20 boules noires.
La probabilité de tirer une boule blanche est 10/30 = 1/3.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre boules blanches tirées.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=15 et p=1/3.
[tex]a)\ \)p(obtenir\ quatre\ boules\ blanches)=p(X=4)\\\\=\begin{pmatrix}15\\4\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^4(1-\dfrac{1}{3})^{15-4}\\\\\\=\begin{pmatrix}15\\4\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^3(\dfrac{2}{3})^{11}=1365\times\dfrac{1}{27}\times\dfrac{2048}{177147}\approx0,584[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ quatre\ boules\ blanches)\approx0,584}[/tex]
b) L'événement contraire de "obtenir au moins deux boules blanches" est "obtenir moins de deux boules blanches", soit "obtenir 0 boule blanche ou 1 boule blanche"
D'où
[tex]\)p(obtenir\ au\ moins\ deux\ boules\ blanches)\\\\=1-p(obtenir\ 0\ boule\ blanche\ ou\ 1\ boule\ blanche)\\\\=1-[p(obtenir\ 0\ boule\ blanche)+p(obtenir\ 1\ boule\ blanche)]\\\\=1-\left[\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^0(1-\dfrac{1}{3})^{15-0}+\begin{pmatrix}15\\1\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^1(1-\dfrac{1}{3})^{15-1}\right]\\\\=1-\left[1\times1\times(\dfrac{2}{3})^{15}+15\times(\dfrac{1}{3})\times(\dfrac{2}{3})^{14}\right][/tex]
[tex]\\\\=1-\left[(\dfrac{2}{3})^{15}+5\times(\dfrac{2}{3})^{14}\right]\\\\\approx0,98[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ au\ moins\ deux\ boules\ blanches)\approx0,98}[/tex]
Exercice 82
La probabilité d'obtenir 6 lors du lancer d'un dé est égale à 1/6
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que 6 apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/6.
[tex]a)\ \)p(obtenir\ cinq\ fois\ le\ 6)=p(X=5)\\\\=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^5(1-\dfrac{1}{6})^{20-5}\\\\\\=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^5(\dfrac{5}{6})^{15}\\\\\\\approx0,129[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ cinq\ fois\ le\ 6)\approx0,129}[/tex]
[tex]b)\ \)p(ne\ pas\ obtenir\ le\ 6)=p(X=0)\\\\=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^0(1-\dfrac{1}{6})^{20-0}\\\\\\=1\times1\times(\dfrac{5}{6})^{20}\\\\\\\approx0,026[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(ne\ pas\ obtenir\ le\ 6)\approx0,026}[/tex]
Exercice 83
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 rois (roi de coeur, roi de carreau, roi de pique, roi de trèfle)
La probabilité de tire un roi est égale à 4/52 = 1/13
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que le roi apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=13 et p=1/13.
[tex]\)p(obtenir\ cinq\ rois)=p(X=5)\\\\=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{13})^5(1-\dfrac{1}{13})^{13-5}\\\\\\=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{13})^5(\dfrac{12}{13})^{8}\\\\\\\approx0,0018[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ cinq\ rois)\approx0,0018}[/tex]
Exercice 80
La probabilité d'obtenir PILE lors d'un lancer est p = 1/2.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que PILE apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/2.
[tex]\)p(obtenir\ trois\ fois\ PILE)=p(X=3)\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^3(1-\dfrac{1}{2})^{10-3}\\\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^3(\dfrac{1}{2})^{7}\\\\\\=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}(\dfrac{1}{2})^{10}\\\\\\=120\times\dfrac{1}{1024}=\dfrac{120}{1024}\\\\\\=\dfrac{15}{128}=0,1171875[/tex]
Par conséquent, la probabilité d'obtenir trois fois PILE est égale à 0,1171875.
Exercice 81
L'urne contient 30 boules dont 10 boules blanches et 20 boules noires.
La probabilité de tirer une boule blanche est 10/30 = 1/3.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre boules blanches tirées.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=15 et p=1/3.
[tex]a)\ \)p(obtenir\ quatre\ boules\ blanches)=p(X=4)\\\\=\begin{pmatrix}15\\4\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^4(1-\dfrac{1}{3})^{15-4}\\\\\\=\begin{pmatrix}15\\4\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^3(\dfrac{2}{3})^{11}=1365\times\dfrac{1}{27}\times\dfrac{2048}{177147}\approx0,584[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ quatre\ boules\ blanches)\approx0,584}[/tex]
b) L'événement contraire de "obtenir au moins deux boules blanches" est "obtenir moins de deux boules blanches", soit "obtenir 0 boule blanche ou 1 boule blanche"
D'où
[tex]\)p(obtenir\ au\ moins\ deux\ boules\ blanches)\\\\=1-p(obtenir\ 0\ boule\ blanche\ ou\ 1\ boule\ blanche)\\\\=1-[p(obtenir\ 0\ boule\ blanche)+p(obtenir\ 1\ boule\ blanche)]\\\\=1-\left[\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^0(1-\dfrac{1}{3})^{15-0}+\begin{pmatrix}15\\1\end{pmatrix}(\dfrac{1}{3})^1(1-\dfrac{1}{3})^{15-1}\right]\\\\=1-\left[1\times1\times(\dfrac{2}{3})^{15}+15\times(\dfrac{1}{3})\times(\dfrac{2}{3})^{14}\right][/tex]
[tex]\\\\=1-\left[(\dfrac{2}{3})^{15}+5\times(\dfrac{2}{3})^{14}\right]\\\\\approx0,98[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ au\ moins\ deux\ boules\ blanches)\approx0,98}[/tex]
Exercice 82
La probabilité d'obtenir 6 lors du lancer d'un dé est égale à 1/6
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que 6 apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/6.
[tex]a)\ \)p(obtenir\ cinq\ fois\ le\ 6)=p(X=5)\\\\=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^5(1-\dfrac{1}{6})^{20-5}\\\\\\=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^5(\dfrac{5}{6})^{15}\\\\\\\approx0,129[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ cinq\ fois\ le\ 6)\approx0,129}[/tex]
[tex]b)\ \)p(ne\ pas\ obtenir\ le\ 6)=p(X=0)\\\\=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}(\dfrac{1}{6})^0(1-\dfrac{1}{6})^{20-0}\\\\\\=1\times1\times(\dfrac{5}{6})^{20}\\\\\\\approx0,026[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(ne\ pas\ obtenir\ le\ 6)\approx0,026}[/tex]
Exercice 83
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 rois (roi de coeur, roi de carreau, roi de pique, roi de trèfle)
La probabilité de tire un roi est égale à 4/52 = 1/13
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois que le roi apparaît.
Alors cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n=13 et p=1/13.
[tex]\)p(obtenir\ cinq\ rois)=p(X=5)\\\\=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{13})^5(1-\dfrac{1}{13})^{13-5}\\\\\\=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}(\dfrac{1}{13})^5(\dfrac{12}{13})^{8}\\\\\\\approx0,0018[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\)p(obtenir\ cinq\ rois)\approx0,0018}[/tex]
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