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Sagot :
Bonjour
Saidfaymariame
1.a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
L'expérience consiste en une répétition de n = 200 épreuves indépendantes et identiques n'ayant que deux issues possibles : avoir un défaut d’enrobage ou ne pas avoir un défaut d'enrobage.
La probabilité que le comprimé ait un défaut d’enrobage est p = 0,04.
D'où la variable X suit une loi binomiale de paramètres (200 ; 0,04)
b) Calculer l'espérance E(X) et l'écart type (X).
[tex]E(X)=np=200\times0,04=8\Longrightarrow\boxed{E(X)=8}\\\\\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\times0,04\times(1-0,04)}=\sqrt{7,68}\approx2,771\\\\\Longrightarrow\boxed{\sigma(X)\approx2,771}[/tex]
c)Donner une interprétation de E(X).
Sur un échantillon de 200 comprimés, nous pouvons "espérer" trouver 8 comprimés ayant un défaut d’enrobage.
2. Déterminer la probabilité de l’événement A : «L’échantillon contient exactement 3 comprimés présentant un défaut d’enrobage».
[tex]p(X=3)=\begin{pmatrix}200\\3\end{pmatrix}(0,04)^3(1-0,04)^{200-3}\\\\p(X=3)=\begin{pmatrix}200\\3\end{pmatrix}(0,04)^3(0,96)^{197}\\\\\boxed{p(A)\approx0,027}[/tex]
3. Déterminer la probabilité de l’évènement B «Le prélèvement contient au moins 3 comprimés présentant un défaut d’enrobage».
[tex]p(B)=p(X\ge3)\\\\p(B)=1-p(X\le2)\\\\p(B)=1-[\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}(0,04)^0(0,96)^{200}+\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}(0,04)^1(0,96)^{199}\\\\+\begin{pmatrix}200\\2\end{pmatrix}(0,04)^2(0,96)^{198}]\\\\\\p(B)\approx1-0,012\\\\\boxed{p(B)\approx0,988}[/tex]
2) a) Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des comprimés présentant un défaut d’enrobage dans cet échantillon de 700 comprimés.
p = 0,8% = 0,008
Cet intervalle asymptotique de fluctuation au seuil de 95% est égal à [tex]\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ;\ p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]\\\\[/tex]
soit [tex]\left[0,008-1,96\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{700}}\ ;\ 0,008+1,96\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{700}}\right][/tex]
soit [tex]\boxed{[\ 0,001\ ;\ 0,015]}[/tex]
b)Parmi les 700 comprimés, le technicien trouve 10 comprimés présentant un défaut d’enrobage.
D'où la fréquence des comprimés ayant un défaut d’enrobage est égale à [tex]\dfrac{10}{700}\approx0,014[/tex]
c) Le sondage réalisé permet-il de considérer le régale comme efficace. Justifier votre réponse.
Le sondage réalisé permet de considérer le régale comme efficace car 0,014 appartient à l'intervalle [0,001 ; 0,015]
1.a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
L'expérience consiste en une répétition de n = 200 épreuves indépendantes et identiques n'ayant que deux issues possibles : avoir un défaut d’enrobage ou ne pas avoir un défaut d'enrobage.
La probabilité que le comprimé ait un défaut d’enrobage est p = 0,04.
D'où la variable X suit une loi binomiale de paramètres (200 ; 0,04)
b) Calculer l'espérance E(X) et l'écart type (X).
[tex]E(X)=np=200\times0,04=8\Longrightarrow\boxed{E(X)=8}\\\\\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\times0,04\times(1-0,04)}=\sqrt{7,68}\approx2,771\\\\\Longrightarrow\boxed{\sigma(X)\approx2,771}[/tex]
c)Donner une interprétation de E(X).
Sur un échantillon de 200 comprimés, nous pouvons "espérer" trouver 8 comprimés ayant un défaut d’enrobage.
2. Déterminer la probabilité de l’événement A : «L’échantillon contient exactement 3 comprimés présentant un défaut d’enrobage».
[tex]p(X=3)=\begin{pmatrix}200\\3\end{pmatrix}(0,04)^3(1-0,04)^{200-3}\\\\p(X=3)=\begin{pmatrix}200\\3\end{pmatrix}(0,04)^3(0,96)^{197}\\\\\boxed{p(A)\approx0,027}[/tex]
3. Déterminer la probabilité de l’évènement B «Le prélèvement contient au moins 3 comprimés présentant un défaut d’enrobage».
[tex]p(B)=p(X\ge3)\\\\p(B)=1-p(X\le2)\\\\p(B)=1-[\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}(0,04)^0(0,96)^{200}+\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}(0,04)^1(0,96)^{199}\\\\+\begin{pmatrix}200\\2\end{pmatrix}(0,04)^2(0,96)^{198}]\\\\\\p(B)\approx1-0,012\\\\\boxed{p(B)\approx0,988}[/tex]
2) a) Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des comprimés présentant un défaut d’enrobage dans cet échantillon de 700 comprimés.
p = 0,8% = 0,008
Cet intervalle asymptotique de fluctuation au seuil de 95% est égal à [tex]\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ;\ p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]\\\\[/tex]
soit [tex]\left[0,008-1,96\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{700}}\ ;\ 0,008+1,96\sqrt{\dfrac{0,008(1-0,008)}{700}}\right][/tex]
soit [tex]\boxed{[\ 0,001\ ;\ 0,015]}[/tex]
b)Parmi les 700 comprimés, le technicien trouve 10 comprimés présentant un défaut d’enrobage.
D'où la fréquence des comprimés ayant un défaut d’enrobage est égale à [tex]\dfrac{10}{700}\approx0,014[/tex]
c) Le sondage réalisé permet-il de considérer le régale comme efficace. Justifier votre réponse.
Le sondage réalisé permet de considérer le régale comme efficace car 0,014 appartient à l'intervalle [0,001 ; 0,015]
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