Bonjour,
105)
P = f(R) = 16R/(R + 1)² avec R ∈ [0;10]
f'(R) = [16(R + 1)² - 2x16R(R + 1)]/(R + 1)⁴
= [16R² + 32R + 16 - 32R² - 32R]/(R + 1)⁴
= (-16R² + 16)/(R + 1)⁴
= 16(1 - R)(1 + R)/(R + 1)⁴
= 16(1 - R)/(R + 1)³
Sur [0;10], R + 1 > 0 ⇒ (R + 1)³ > 0
Donc le signe de f'(R) ne dépend que du signe de (1 - R)
R 0 1 10
f'(R) + 0 -
f(R) croissante décroissante
2) On en déduit que P = f(R) est maximale pour R = 1 Ω
Soit Pmax = f(1) = 16/4 = 4 W
106)
P = RE²/(R + r)² = f(R)
f'(R) = E²[(R + r)² - 2R(R + r)]/(R + r)⁴
= E²[R² + 2rR + r² - 2R² - 2rR]/(R + r)⁴
= E²(-R² + r²]/(R + r)⁴
= E²(r + R)(r - R)/(R + r)⁴
= E²(r - R)/(R + r)³
E²/(R + r)³ > 0, donc le signe de f'(R) ne dépend que du signe de (r - R)
R 0 r +∞
f'(R) + 0 -
f(R) croissante décroissante
P = f(R) est donc maximale pour R = r
et Pmax = f(r) = rE²/(2r)² = E²/4r
