Hello !
1. a. On développe (x-4)(20-x) = 20x -x^2 -80 + 4x = -x^2 + 24x - 80
Les deux expressions sont bien égales.
b. On cherche x tel que B(x) = 0, c'est à dire (x-4)(20-x).
Donc x-4 = 0 ou 20-x = 0
x = 4 ou x = 20
c. x -inf 4 20 +inf
x-4 - 0 + 16 +
20-x + 16 + 0 -
B(x) - 0 + 0 -
D'après ce tableau de signe on a B(x) <=0 pour x appartenant à l'intervalle
]-inf;4] U [20;+inf[ et B(x) > 0 pour x dans ]4;20[.
d.Il faut produire entre 5 et 19 montres inclus. ( 4 et 20 exclus)
2. Si tu as vu le concept de dérivée, on peut dériver B(x) sur [0;24]
Et B'(x) = -2x +24
B'(x) < 0 pour -2x+24<0, c'est à dire pour x > 12
De la même façon, B'(x) > 0 pour x < 12
Donc B est croissante sur [0;12] et décroissante sur [12;24]
Sans utiliser les dérivées, on peut utiliser certaines propriétés de la parabole, car c'est une fonction carrée. Or, B(x) est négative avant 4, positive jusqu'à 20, puis négative à nouveau. C'est à dire qu'elle est censée être croissante jusqu'au milieu de 4 et 20, c'est à dire 12, puis décroissante.
b. Le bénéfice est donc maximal 12 montres, et le montant est
B(12) = (12-4)(20-12) = 64
