Bonjour,
Exercice 1
1) La courbe représentative de la fonction f passe par O(0;0)
⇒ f(0) = 0
Sur [0;3[, f(x) = ax² + bx + c
⇒ c = 0
2) A(3;4) appartient à la courbe et la tangente à la courbe au point A est commune aux 2 parties de la courbe.
A appartenant à cette tangente ⇒ Les coordonnées de A respectent l'équation de f sur [0:3[.
Soit ax3² + bx3 = 4 ⇔ 9a + 3b = 4
L'équation de la tangente au point A peut s'établir à partir des deux définitions de la fonction f :
y = f'(3)(x - 3) + 4
Sur [0;3[, f'(x) = 2ax + b ⇒ f'(3) = 6a + b
Sur[3;+∞[, f'(x) = -2x + 8 ⇒ f'(3) = -6 + 8 = 2
⇒ 6a + b = 2
Résolution du système :
9a + 3b = 4
6a + b = 2
⇔
b = 2 - 6a
9a + 3(2 - 6a) = 4
⇔
b = 2 - 6a
-9a = -2
⇔
a = 2/9
b = 2 - 6x2/9 = 2/3
3) On en déduit :
Sur [0;3[, f(x) = 2x²/9 + 2x/3
4)
Sur [0;3[, f'(x) = 4x/9 + 2/3 = 2/3(2x + 1)
Donc f'(x) = 0 ⇒ x = -1/2 ∉ [0;3[ ⇒ f'(x) > 0 sur [0;3[ ⇒ f est croissante sur [0;3[
⇒ Pour tout x appartenant à [0;3[, f(x) ≤ f(3)
Or f(3) = 4 ⇒ f(x) < 5
Sur [3;+∞[, f'(x) = -2x + 8
f'(x) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ f'(x) > 0 sur [3;4[ et f'(x) < 0 sur ]4;+∞[
⇒ f atteint un maximum sur ]3;+∞[ pour x = 4
Or f(4) = -4² + 8x4 - 11 = 5
Donc pour tout x ∈ [3;+∞[, f(x) ≤ 5
Exercice 2
L'urne contient (10 + n) boules
La probabilité de titrer une boule rouge à chaque tirage est donc de :
p = 10/(10 + n)
Chaque tirage ayant deux issues et la même probabilité p (épreuve de Bernouilli), la variable X qui donne le nombre de boules rouges tirées après 20 tirages suit la loi binomiale de paramètres 20 et 10/(10 + n).
"Obtenir au moins 1boule rouge" = 1 - "Ne jamais obtenir de boule rouge" 'événements contraires)
La probabilité de cet événement est donc :
P = 1 - (Combinaisons de 0 parmi 20) x p⁰ x (1 - p)²⁰ = 1 - (1 - p)²⁰
On veut P > 0,999
⇔ 1 - (1 - p)²⁰ > 0,999
⇔ (1 - p)²⁰ < 0,001
⇔ [1 - 10/(10 + n)]²⁰ < 0,001
⇔ [n/(10 + n)]²⁰ < 0,001
Je ne crois pas que tu saches résoudre cette inéquation (logarithmes). Donc à la calculatrice
n = 5
On vérifie : p = 5/(10 + 5) = 10/15 = 1/3
P = 1 - (1 - p)²⁰= 1 - (2/3)²⁰ = 0,9996
(Pour n = 4, P = 1 - (1 - 4/14)²⁰ = 0,9988)
