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Exercice : Au printemps 2012, Paul achète une maison à la campagne. Il dispose d'un potager de 150m2 entièrement cultivable, mais tous les ans, 20% de cette surface cultivable est envahie de mauvaises herbes. Paul arrache alors, à chaque printemps, les mauvaises herbes sur une surface de 5m2 pour rendre cette surface cultivable. Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface cultivable du potager (en m2) au bout de n années, cad au printemps 2012+n. On a donc u0=150.
1) calculer u1 et u2
2)La suite (un) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
3)Justifier que pour tout nombre entier naturel n, un+1=0,8un+5
4)On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-25
a) Démontrer que pour tout entier naturel n , vn+1=0,8vn. En déduire la nature de la suite vn.

Vous n'êtes pas obligé de répondre à toutes les questions mais essayez de m'aider svp !! C'est pour lundi et je ne comprends rien !!

Sagot :

Greencalogero
1) On appelle U(n) la suite traduisant la surface cultivable. Si on suit l'énoncé, on a :
U(1)=0.8U(0)+5=0.8*150+5=125 m²
U(2)=0.8U(1)+5=0.8*125+5=105 m²

2) Par les cas 1, on peut traduire la suite par:
U(n)=0.8*U(n-1)+5 donc
Par sa forme, cette suite n'est ni géométrique et ni arithmétique.

3) Tous les ans, 20 % de la surface est envahie par les mauvaises herbes. Paul arrache alors 5 m² de ces mauvaises herbes qui devient alors cultivable. A l'année suivante n+1, il reste alors 80 % de la surface cultivable de l'année n plus les 5 m² arraché donc on a:
                 U(n+1)=0.8*U(n)+5


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