Bonjour Gabro720
[tex]1)\ A(1;0)\ ;\ B(2;0)\ ;\ C(\dfrac{7}{2};0)\ ;\ A'(0;1)\ ;\ B'(0;2)\ ;\ C'(0;4)[/tex]
2) a) Equation de (AB').
Cette équation est de la forme y = ax + b.
Coefficient directeur [tex]a=\dfrac{2-0}{0-1}=-2[/tex]
Ordonnée à l'origine b = 2 car B'(0;2) ∈ (AB')
D'où [tex]\boxed{(AB'):y=-2x+2}[/tex]
Equation de (A'B).
Cette équation est de la forme y = ax + b.
Coefficient directeur [tex]a=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Ordonnée à l'origine b = 1 car A'(0;1) ∈ (A'B)
D'où [tex]\boxed{(A'B):y=-\dfrac{1}{2}x+1}[/tex]
b) Coordonnées de M.
Il faut résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-2x+2\\y=-\dfrac{1}{2}x+1 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow-2x+2=-\dfrac{1}{2}x+1\\\\-4x+4=-x+2\\\\-4x+x=2-4\\\\-3x=-2\\\\3x=2\\\\\boxed{x=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\Longrightarrow y=-2\times\dfrac{2}{3}+2=-\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{2}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{y=\dfrac{2}{3}}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point M sont [tex]\boxed{M(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3})}[/tex]
3) Calculer de même les coordonnées de N et P.
Les calculs sont analogues aux précédents et nous obtenons :
[tex](AC'):y=-4x+4\\\\(A'C):y=-\dfrac{2}{7}x+1\\\\\Longrightarrow\boxed{N:(\dfrac{21}{26};\dfrac{10}{13})}\\\\\\(BC'):y=-2x+4\\\\(B'C):y=-\dfrac{4}{7}x+2\\\\\Longrightarrow\boxed{P:(\dfrac{7}{5};\dfrac{6}{5})}[/tex]
3) En déduire que les points M, N et P sont alignés.
Déterminons l'équation de (MP)
Cette équation est de la forme y = ax + b
Coefficient directeur [tex]a=\dfrac{\dfrac{6}{5}-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{5}-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\dfrac{8}{15}}{\dfrac{11}{15}}=\dfrac{8}{11}[/tex]
L'équation de la droite (MP) est donc de la forme [tex]y=\dfrac{8}{11}x+b[/tex]
Or le point M(2/3;2/3) appartient à cette droite (MP)
Donc
[tex]\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{11}\times\dfrac{2}{3}+b\\\\\\\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{33}+b\\\\\\b=\dfrac{2}{3}-\dfrac{16}{33}\\\\\\b=\dfrac{2}{11}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{(MP):y=\dfrac{8}{11}x+\dfrac{2}{11}}[/tex]
Montrons que le point N(21/26 ; 10/13) appartient à la droite (MP) en remplaçant x par 21/26 dans l'équation de (MP) et en montrant que y = 10/13
[tex]y=\dfrac{8}{11}\times\dfrac{21}{26}+\dfrac{2}{11}=\dfrac{168}{286}+\dfrac{2}{11}=\dfrac{168}{286}+\dfrac{52}{286}=\dfrac{220}{286}=\boxed{\dfrac{10}{13}}[/tex]
D'où, le point N appartient bien à la droite (MP)
Par conséquent, les points M, N et P sont alignés.
