Bonjour
1) le point M peut se balader de A en B donc x de 0 à 8.
D = [0; 8]
2) c'est l'aire du triangle AMN multipliée par la hauteur AE
aire (AMN) = AM*AN/2 comme le triangle est rectangle, son aire est la moitié de celle du rectangle de côtés AM et AN.
AN = AD - DN = AD - AM = 8 - x
aire (AMN) = x * (8-x)/2 et AE = 8
donc V₁(x) = 8x (8-x)/2 = 4x (8-x)
3) V(x) = aire du cube total - V₁(x)
= 8*8*8 - V₁(x)
= 512 - 4x (8-x)
4) V(x) = 512 - 32x + 4x² = 4x² - 32x + 512
C'est un polynôme du 2nd degré.
Partie 2
1) V(x) = 4x² - 32x + 512
On dérive
V'(x) = 8x - 32
Extremum pour V'(x) = 0 donc x=4
L'extremum est :
V(4) = 4*4² - 32*4 + 512 = 448 cm³
2) V'(x) = 8x - 32 donc V'(x) >0 ⇔ 8( x-4 ) > 0 donc x>4
x | 0 4 8 |
V'(x) | - 0 + |
V(x) | 512 bas 448 haut 512|
(bas = flèche vers le bas et haut = flèche vers le haut)
Partie 3
Le volume est le plus petit pour x = 4 cm, c'est-à-dire pour M placé au milieu du segment. On obtient alors V(4) = 448 cm³
