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n désigne un nombre entier a trois chiffre dont des centaines est c, le chiffre des dizaines est d et le chiffre des unités est u. 1 ) expliquer pourquoi le nombre n= 99c+9d+c+d+u . 2 ) a)- expliquer pour quoi le nombre 99c+9d est divisible par 3. b) En déduire que n est divisibles 3 dans le seul cas ou c+d+u est divisibles par 3. 3) démontrer de façon analogue que n est divisible par 9 dans le seul cas ou la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Sagot :

Bonjour ;

1) En écriture décimale on a : n = u + 10d + 100c ,
donc : n = u + 9d + d + 99c + c = 99c + 9d + c + d + u .

2)

a) 99c + 9d = 3 x 33d + 3 x 3d = 3(33d + 3d) ,
donc : 99c + 9d est divisible par 3 .

b) Supposons  c + d + u divisible par 3 , donc il existe k un nombre entier naturel tel que : c + d + u = 3k ,
donc : n = 99c + 9d + c + d + u = 3(33c + 3d) + 3k = 3(33c + 3d + k) ,
donc dans ce cas n est divisible par 3 .

Supposons que c + d + u n'est pas divisible par 3 ,
donc : c + d + u + 3(33c + 3d) n'est pas divisible par 3 ,
donc : n n'est pas divisible par 3 .

n est divisible par 3 dans le seul cas où c + d + u est divisible par 3 .

3) Tout d'abord , on a : 99c + 9d = 9(11c + d) , donc 99c + 9d est divisible par 9.

Supposons  c + d + u divisible par 9 , donc il existe k un nombre entier naturel tel que : c + d + u = 9k ,
donc : n = 99c + 9d + c + d + u = 9(11c + d) + 9k = 9(11c + d + k) ,
donc dans ce cas n est divisible par 9 .

Supposons que c + d + u n'est pas divisible par 9 ,
donc : c + d + u + 9(11c + d) n'est pas divisible par 9 ,
donc : n n'est pas divisible par 9 .

n est divisible par 9 dans le seul cas où c + d + u est divisible par 9 .

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