Bonjour Moussa30
Voir figure en pièce jointe.
Les notation utilisées seront celle de la figure.
La construction de la burette possédera un minimum de matière si la surface totale possède une aire minimale.
Soit r le rayon de la base du cylindre et de la base du cône.
==> O'B = r
La hauteur du cône est égale à 2/3 du diamètre de base.
==>
[tex]SO'=\dfrac{2}{3}\times2r\\\\\boxed{SO'=\dfrac{4}{3}r}[/tex]
Par Pythagore dans le triangle SO'B rectangle en O',
[tex]SB^2=SO'^2+O'B^2\\\\SB^2=(\dfrac{4}{3}r)^2+r^2\\\\SB^2=\dfrac{16}{9}r^2+r^2\\\\SB^2=\dfrac{25}{9}r^2\\\\\boxed{SB=\dfrac{5}{3}r}[/tex]
La surface totale de la burette est composée par la surface de la base du cylindre + la surface latérale du cylindre de hauteur h + la surface latérale du cône.
Calculons les aires de chacune de ces surfaces.
[tex]\boxed{Aire_{base\ du\ cylindre}=\pi r^2}\\\\\boxed{Aire\ lat\acute{e}rale\ du\ cylindre=2\pi rh}\\\\Aire\ lat\acute{e}rale\ du\ c\widehat{o}ne=\pi r\times SB=\pi r\times\dfrac{5}{3}r\\\\\boxed{Aire\ lat\acute{e}rale\ du\ c\widehat{o}ne=\dfrac{5}{3}\pi r^2}[/tex]
Calculons l'aire totale A de la burette.
[tex]A=\pi r^2+2\pi rh+\dfrac{5}{3}\pi r^2\\\\A=\pi r^2+\dfrac{5}{3}\pi r^2+2\pi rh\\\\\boxed{A=\dfrac{8}{3}\pi r^2+2\pi rh}[/tex]
Or nous savons que la capacité V de la burette est donnée, et donc est une constante.
Nous avons alors :
[tex]V=V_{cylindre}+V_{c\widehat{o}ne}=\pi r^2h+\dfrac{1}{3}\pi r^2\times\dfrac{4}{3}r\\\\V=\pi r^2h+\dfrac{4}{9}\pi r^3\\\\\pi r^2h=V-\dfrac{4}{9}\pi r^3\\\\h=\dfrac{V}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}\dfrac{\pi r^3}{\pi r^2}\\\\\\\boxed{h=\dfrac{V}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}r}[/tex]
D'où
[tex]A=\dfrac{8}{3}\pi r^2+2\pi rh\\\\\Longrightarrow A=\dfrac{8}{3}\pi r^2+2\pi r(\dfrac{V}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}r)\\\\A=\dfrac{8}{3}\pi r^2+\dfrac{2\pi rV}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}r\times2\pi r\\\\A=\dfrac{8}{3}\pi r^2+\dfrac{2\pi rV}{\pi r^2}-\dfrac{8}{9}\pi r^2\\\\A=\dfrac{8}{3}\pi r^2-\dfrac{8}{9}\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{A(r)=\dfrac{16}{9}\pi r^2+\dfrac{2V}{r}}[/tex]
L'aire A(t) sera minimale si nous avons la relation : A'(r) = 0
Or
[tex]A(r)=\dfrac{16}{9}\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\\\\\Longrightarrow A'(r)=\dfrac{16}{9}\pi \times2r-\dfrac{2V}{r^2}\\\\A'(r)=\dfrac{32}{9}\pi r-\dfrac{2V}{r^2}\\\\A'(r)=\dfrac{32\pi r^3}{9r^2}-\dfrac{18V}{9r^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{A'(r)=\dfrac{32\pi r^3-18V}{9r^2}}[/tex]
D'où l'aire totale sera minimale si :
[tex]A'(r)=0\Longleftrightarrow\dfrac{32\pi r^3-18V}{9r^2}=0\\\\32\pi r^3-18V=0\\\\18V=32\pi r^3\\\\V=\dfrac{32}{18}\pi r^3\\\\\boxed{V=\dfrac{16}{9}\pi r^3}[/tex]
Or nous avions déterminé l'égalité suivante : [tex]h=\dfrac{V}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}r[/tex]
Donc
[tex]h=\dfrac{\dfrac{16}{9}\pi r^3}{\pi r^2}-\dfrac{4}{9}r\\\\\\h=\dfrac{16}{9}r-\dfrac{4}{9}r\\\\\\h=\dfrac{12}{9}r\\\\\\\boxed{h=\dfrac{4}{3}r}[/tex]
Puisque la hauteur du cône était égale à [tex]\dfrac{4}{3}r[/tex], nous concluons en disant que la construction de la burette possédera un minimum de matière si la hauteur h du cylindre est égale à la hauteur du cône
