Bonsoir ;
1)
a) ABCD est carré , donc O est le milieu de [AC] ,
donc : [tex] \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC} [/tex] donc : [tex] \overrightarrow{OC} = - \overrightarrow{OA} [/tex] .
G est le barycentre des points (A;1) , (B;2) et (C;1) , donc on a :
[tex]\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OG} [/tex]
[tex]\Rightarrow \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA} = 4\overrightarrow{OG}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2\overrightarrow{OB} = 4\overrightarrow{OG} \\\\ \overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OB} ,[/tex]
donc : G est le milieu de [OB] .
2)
b) G est le milieu de [OB] , donc par le théorème de la médiane on a :
[tex]\forall M : MO^{2} + MB^{2} = 2 MG^{2} + \dfrac{ OB^{2} }{2} [/tex] .
De même , on a O est le milieu de [AC] , donc par le théorème de la médiane
on a : [tex]\forall M : MA^{2} + MC^{2} = 2 MO^{2} + \dfrac{ AC^{2} }{2} [/tex] ,
donc en regroupant les deux égalités on a :
[tex]\forall M : MA^{2} + MC^{2} + 2MO^{2} + 2MB^{2} = 2 MO^{2} + \dfrac{ AC^{2} }{2} + 4MG^{2} + OB^{2} [/tex] ,
donc on a :
[tex]\forall M : MA^{2} + MC^{2} + 2MB^{2} = \dfrac{ AC^{2} }{2} + 4MG^{2} + OB^{2} \\\\= 4MG^{2} + 1 +\dfrac{ 1}{2} = 4MG^{2} +\dfrac{ 3}{2}[/tex] ,
car on a : [tex]AB = 1 ; AC= \sqrt{2} .[/tex]
