Bonjour,
1) On teste plusieurs valeurs d'entrée. On remarque que chacun des algorithme donnent le même résultat à chaque fois.
On suppose donc que les 4 algorithmes donnent le même résultat.
2) La fonction f de l'algo 1 est définie par f(x) = (2x-5)/(x-4)
La fonction g de l'algo 2 est définie par g(x) = 3(1/(x-4))+2 = (3/(x-4))+2
La fonction h de l'algo 3 est définie par h(x) = (5-2x)/(4-x)
La fonction k de l'algo 4 est définie par k(x) = 2-3/(4-x)
Elles sont définies sur R\{4}.
f(x) = g(x) ⇒ (2x-5)/(x-4) = (3/(x-4))+2 ⇒ 2x-5 = 3+2(x-4) ⇒ 2x-5 = 3+2x-8 ⇒ 2x-5 = 2x-5
Donc f(x) = g(x) sur R\{4}.
h(x) = k(x) ⇒ (5-2x)/(4-x) = 2-3/(4-x) ⇒ 5-2x = 2(4-x)-3 ⇒ 5-2x = 8-2x-3 ⇒ 5-2x = 5-2x
Donc h(x) = k(x) sur R\{4}.
f(x) = h(x) ⇒ (2x-5)/(x-4) = (5-2x)/(4-x) ⇒ (2x-5)/(x-4)-(5-2x)/(4-x) = 0
Or (2x-5)/(x-4)-(5-2x)/(4-x) = [tex] \frac{(2x-5)(4-x)-(x-4)(5-2x)}{(x-4)(4-x)} = \frac{8x-2x^2-20+5x-5x+2x^2+20-8x}{-x^2+4x+4x-16} = \frac{0}{-x^2+8x-16} = 0 [/tex]
Donc f(x) = h(x) ⇒ 0 = 0
Donc f(x) = h(x) sur R\{4}.
Or h(x) = k(x), donc f(x) = k(x) sur R\{4}.
Donc f(x) = g(x) = h(x) = k(x) sur R\{4}.
La conjecture est démontrée.
