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Sagot :
Bonjour
Rachimi
Résoudre l'équation z² - 4 - 3i = 0 revient à résoudre l'équation z² = 4 + 3i
Si z = x + iy, alors nous devons résoudre l'équation (x + iy)² = 4 + 3i.
Or
(x + iy)² = 4 + 3i <===> x² - y² + 2ixy = 4 + 3i
[tex]\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=4\\2xy=3 \end{matrix}\right.[/tex]
Mais
[tex]|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\Longrightarrow\boxed{|z|^2=x^2+y^2}\\\\et\\\\|z|^2=|4+3i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\Longrightarrow\boxed{|z|^2=5}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x^2+y^2=5}[/tex]
Par conséquent, nous avons :
[tex]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=5\\x^2-y^2=4\\2xy=3 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=5\ \ \ \ (1)\\x^2-y^2=4\ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.\\\\\\(1)+(2)\Longrightarrow2x^2=9\Longrightarrow x^2=\dfrac{9}{2}\Longrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\pm\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\\\(1)-(2)\Longrightarrow2y^2=1\Longrightarrow y^2=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow y=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Puisque 2xy = 3 > 0, nous en déduisons que x et y sont de même signe.
D'où,
[tex]x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \ et\ \ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\ou\\\\x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \ et\ \ y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Par conséquent, les solutions de l'équation z² - 4 - 3i = 0 sont
[tex]\boxed{z_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{i\sqrt{2}}{2}}\ \ et\ \ \boxed{z_2=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{i\sqrt{2}}{2}}[/tex]
Résoudre l'équation z² - 4 - 3i = 0 revient à résoudre l'équation z² = 4 + 3i
Si z = x + iy, alors nous devons résoudre l'équation (x + iy)² = 4 + 3i.
Or
(x + iy)² = 4 + 3i <===> x² - y² + 2ixy = 4 + 3i
[tex]\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=4\\2xy=3 \end{matrix}\right.[/tex]
Mais
[tex]|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\Longrightarrow\boxed{|z|^2=x^2+y^2}\\\\et\\\\|z|^2=|4+3i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\Longrightarrow\boxed{|z|^2=5}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x^2+y^2=5}[/tex]
Par conséquent, nous avons :
[tex]\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=5\\x^2-y^2=4\\2xy=3 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=5\ \ \ \ (1)\\x^2-y^2=4\ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.\\\\\\(1)+(2)\Longrightarrow2x^2=9\Longrightarrow x^2=\dfrac{9}{2}\Longrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\pm\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\\\(1)-(2)\Longrightarrow2y^2=1\Longrightarrow y^2=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow y=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Puisque 2xy = 3 > 0, nous en déduisons que x et y sont de même signe.
D'où,
[tex]x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \ et\ \ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\ou\\\\x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\ \ et\ \ y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Par conséquent, les solutions de l'équation z² - 4 - 3i = 0 sont
[tex]\boxed{z_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{i\sqrt{2}}{2}}\ \ et\ \ \boxed{z_2=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{i\sqrt{2}}{2}}[/tex]
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