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Vouriampa
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Bonsoir à tous, pouvez vous m'aider s'il vous plait merci

On considère la fonction f définie sur R dont l'image d'un nombre x est définit par la relation algébrique :
f(x)= 4x^2+4x-3

1a. Démontrer que pour tout x ∈ R on a :
f(x)= (2x-1)(2x+3°

1b. Démontrer que pour tout x ∈ R on a :
f(x)= (2x+1)²- 4

2. Pour chacune des questions suivantes utiliser la formule la plus adapter :
a. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f
b. Sachant que le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, établir que la fonction f est minorée par - 4
c. Déterminer le signe de la fonction f sur R
d. Résoudre l'inéquation : f(x)≥5

Sagot :

Geijutsu
Bonjour,

1. a. f(x) = 4x²+4x-3 = 4x²+6x-2x-3 = 2x*2x+2x*3-1*2x-1*3 = (2x-1)(2x+3)
b. f(x) = 4x²+4x-3 = (4x²+4x+1)-4
Or a²+2ab+b² = (a+b)²
Donc f(x) = (2x+1)²-4

2. a. f(x) = 0 ⇒ (2x-1)(2x+3) = 0 ⇒ 2x-1 = 0 ou 2x+3 = 0 ⇒ 2x = 1 ou 2x = -3 ⇒ x = 1/2 ou x = -3/2
Donc les antécédents de 0 par f sont -3/2 et 1/2.
b. f(x)= (2x+1)²- 4
Comme le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, alors (2x+1)² ≥ 0
Donc (2x+1)²- 4 ≥ -4
Donc f est minorée par -4.
c. Une fonction du second degré est de la forme ax²+bx+c
Quand a > 0, alors la fonction est décroissante puis croissante.
Quand a < 0, alors la fonction est croissante puis décroissante.
Dans f, a = 4, donc a > 0.
Donc f est décroissante puis croissante.
Or les antécédents de 0 par f sont -3/2 et 1/2.
Donc on en déduit que :
f est positive sur ]-∞;-3/2[∪]1/2;+∞[
f est négative sur ]-3/2;1/2[
f est nulle en -3/2 et en 1/2
d. f(x) ≥ 5 ⇒ (2x+1)²-4 ≥ 5 ⇒ (2x+1)²-9 ≥ 0 ⇒ (2x+1-3)(2x+1+3) ≥ 0 ⇒ (2x-2)(2x+4) ≥ 0
Soient les inéquations suivantes :
2x-2 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1
2x+4 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ -4 ⇒ x ≥ -2
On en déduit alors que f(x) ≥ 5 ⇒ x∈]-∞;-2]∪[1;+∞[
(Tu peux construire un tableau de signes pour vérifier l'inéquation, si tu veux)
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