Soit (Un) avec n E N, la suite donnant le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés.
On définit la relation de récurrence telle que:
U(n+1)=U(n)+(n-1)
On cherche à exprimer U(n) en fonction n. Pour cela, commence par dessiner quelques exemples pour ne serait-ce que pour avoir. Pour un quadrilatère tu as 2 diagonales, pour un pentagone 5, 9 pour un hexagone... Tu te rends alors compte que U(n)=n(n-3)/2. On va montrer cela par récurrence.
Pour tout n>4, on a :
U(4)=4(4-3)/2=2 donc vrai pour un quadrilatère.
On suppose U(n)=n(n-3)/2 vraie
On cherche à montrer au rang n+1:
U(n+1)=U(n)+n-1
U(n+1)=n(n-3)/2+n-1
U(n+1)=(n(n-3)+2(n-1))/2
U(n+1)=(n^2-3n+2n-2)/2
U(n+1)=(n+1)(n-2)/2
U(n) vraie entraîne U(n+1) vraie donc
U(n)=n(n-3)/2---> CQFD
