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Bonjour jai un DM a à rendre pour demain pouvez vous m aidez svp

(Un) est la suite définie par u0=5 Et, pour tout entier naturel n,un+1=racine carré 3un-2. Démonter.,par récurrence , que la suite (Un) est décroissante.


Sagot :

Bonjour ;

Tout d'abord montrons - par récurrence - que pour tout n (nombre entier naturel), on a : u_n ≥ 2 .

Initialisation : On a u_0 = 5 ≥ 2 .

Hérédité : Supposons que pour un n (nombre entier naturel) on a : u_n ≥ 2 ,
donc on a : 3u_n - 2 ≥ 4 , donc √ (3u_n - 2) ≥ 2 , donc u_(n+1) ≥ 2

Conclusion : pour tout n (nombre entier naturel) on a : u_n ≥ 2 .

Montrons maintenant que (u_n) est décroissante .

Initialisation : On a u_1 = √(3u_0 - 2) = √(13) ≤ 5 = u_0 .

Hérédité : Supposons que pour un n (nombre entier naturel non nul) on a :
u_n ≤ u_(n-1) , donc 3u_n - 2 ≤ 3u_(n-1) - 2
donc √(3u_n - 2) ≤ √(3u_(n-1) - 2) : car pour tout n  (nombre entier naturel) u_n≥2
donc u_(n+1) ≤ u_n .

Conclusion : Pour tout n (nombre entier naturel non nul) on a : u_n ≤ u_(n-1) ,
donc (u_n) est décroissante .

On peut ajouter que puisque (u_n) est minorée par 2 et décroissante , donc elle
convergente et admet une limite u qu'on peut déterminer comme suit :

u = √(3u - 2) donc u² = 3u - 2 donc u² - 3u + 2 = 0 donc u = 1 ou u = 2 ,
comme (u_n) est minorée par 2 , donc on prend u = 2 .
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