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Bonjour, pouvez vous m'expliquer cet exercice car jai DES difficultés.. Merci d'avance pour votre réponse! (Niveau TS)

Un éditeur veut produire un livre avec les contraintes suivantes : pour chaque page le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de 300cm2
Les marges gauches et droites doivent mesurer 1,5cm et les larges du haut et du bas doivent mesurer 2cm.

On note x et y les dimensions de la page et S(x)=xy la surface de la page. Le but de cet exercice est de déterminer les dimensions de la Pages pour que la consommation de papier soit minimale.
1. À l'aide des données de l'exercice, montrer que y= 288+3x/ x-4
2. En déduire une expression de S(x) uniquement en fonction de x puis étudier les variations de S sur son ensemble de définition que l'on précisera.
3. Répondre au problème posé.

Sagot :

Laurance
la surface utile de  300cm²  est  calculée en enlevant  4 bandes rectangulaires  à la surface d'une page  xy   : deux  bandes de y sur  2   et  deux bandes de  x-4  sur  1,5    d'où   l'équation    300 = xy - 2(2y)  - 2(x-4)1,5    
300=  xy  -  4y   - 3(x-4)       300 = y(x-4)   -3x  +12  donc  y(x-4)= 300+3x-12    y(x-4)=  288 + 3x    conclusion    y =(288+3x) / ( x-4)   
2)S(x)= x(288+3x)  / (x-4)  =  (288x + 3x²)  / (x-4)   
S'(x) = ( (288+6x)(x-4)  - (288x + 3x²)  )  / (x-4)² = (3x² - 24x  -1152)  /(x-4)²   on essaie de simplifier  par la forme canonique
  3x²-24x -1152 =    3(x² - 8x  - 384)=  3((x-4)²  - 16 -384) ) = 3((x-4)² - 400  )  Donc  S'(x)= 3( x-4-20)(x-4+20)  /(x-4)² = 3(x-24)(x+16)  /(x-4)²  dans ce calcul  seul    x -24   n'est pas positif   : il est  négatif avant  x = 24   puis positif après   S(x) est donc décroissante avant 24  et croissante apres    le minimum etant atteint  pour  x=24  d'où  y = (288+72) /(24-4) = 360/20  = 18   3) la réponse est  une page de 24 sur  18 





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