Bonjour,
1)a) Pour traiter cette question, nous allons prendre f(x)=1/x.
La fonction f est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
On peut écrire que:
2.01≤2.1
f(2.01)≥f(2.1) car f décroissante sur ]0;+∞[
1/2.01≥1/2.1
b) Nous prenons comme fonction de référence la fonction racine qui est toujours positive et croissante sur [0;+∞[.
On va alors, pour montrer un ordre entre √(x²+1) et √(2x),étudier le signe de leur différence:
f(x²+1)-f(2x)=√(x²+1)-√(2x)
f(x²+1)-f(2x)=(√(x²+1)-√(2x))(√(x²+1)+√(2x))/(√(x²+1)+√(2x))
f(x²+1)-f(2x)=(x²+1+2x)/(√(x²+1)+√(2x))
f(x²+1)-f(2x)=(x+1)²/(√(x²+1)+√(2x))
∀x≥0, (x+1)²≥0 et (√(x²+1)+√(2x))≥0 donc on a:
f(x²+1)-f(2x)≥0
f(x²+1)≥f(2x)
√(x²+1)≥√(2x)
2) La fonction x² est toujours positive ∀ x ∈ R donc (-1)²=(1)²=1. De plus, sur R+, la fonction x² est croissante donc:
f(1)≤x²≤f(3)
comme f(-1)=f(1) donc:
f(-1)≤x²≤f(3)
(-1)²≤x²≤3²
1≤x²≤9
