Bonjour,
ex 1)
On recherche un nombre x tel que :
(2 + x)/3 = (1 + x)/5 (on ajoute x au dénominateur de chacune des fractions et on cherche x pour que les 2 fractions obtenues soient égales)
Soit : 5(2 + x) = 3(1 + x)
⇔ 10 + 5x = 3 + 3x
⇔ 5x - 3x = 3 - 10
⇔ 2x = -7
⇔ x = -7/2
Donc, oui, si on ajoute -7/2 à chaque dénominateur, les 2 fractions obtenues sont égales.
2) On va donner des noms à chacun des nombres recherchés comme sur l'image ci-jointe.
On en déduit les équations suivantes, en respectant le sens des flèches :
a/6 = c
c x 3 = e
d/4 = b
d x 4 = f
e + 1 = b
f + 2 = a
Soit :
a = 6c
e = 3c
d = 4b
f = 4d
3c + 1 = b en remplaçant e par 3c
4d + 2 = a en remplaçant f par 4d
4d + 2 = a
⇔ 16b + 2 = 6c en remplaçant d par 4b et a par 6c
On a maintenant 2 équations entre b et c :
16b + 2 = 6c
3c + 1 = b
soit :
16b - 6c = -2
b - 3c = 1
⇔
16b - 6c = -2
-2b + 6c = -2 en multipliant la seconde équation par -2
On ajoute les 2 équations précédentes membre à membre :
16b - 2b - 6c + 6c = -2 - 2
14b = -4
b = -4/14 = -2/7
On en déduit :
c = (b - 1)/3 = (-2/7 - 7/7)/3 = (-9/7)/3 = -9/21 = -3/7
a = 6c = -18/7
d = 4b = -8/7
e = 3c = -9/7
f = 4d = -32/7
