1) Calculons les rapports CJ/CB et CI/CD
[tex]\dfrac{CJ}{CB}=\dfrac{92}{182}\approx0,505\\\\\\\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{120-51}{120}=\dfrac{69}{120}=0,575[/tex]
Les points C, J, B et les points C, I et D sont alignés dans le même ordre.
Par contre [tex]\dfrac{CJ}{CB}\neq\dfrac{CI}{CD}[/tex]
En utilisant la contraposée du théorème de Thalès, nous en déduisons que les droites (IJ) et (BD) ne sont pas parallèles.
2) Par le théorème de Pythagore dans le triangle CIJ rectangle en C, nous avons :
[tex]IJ^2=IC^2+JC^2\\IJ^2=69^2+92^2\\IJ^2=4761+8464\\\boxed{IJ^2=13225}\\\\IJ=\sqrt{13225}\\\\\boxed{IJ=115}[/tex]
3) Par le théorème de Pythagore dans le triangle ADI rectangle en D :
[tex]AI^2=AD^2+DI^=\\AI^2=182^2+51^2\\AI^2=33124+2601\\\\\boxed{AI^2=35725}[/tex]
Par le théorème de Pythagore dans le triangle ABJ rectangle en B :
[tex]AJ^2=AB^2+BJ^=\\AJ^2=120^2+(182-92)^2\\AJ^2=120^2+90^2\\AJ^2=14400+8100\\\\\boxed{AJ^2=22500}[/tex]
D'où
[tex]IJ^2+AJ^2=13225+22500\\\\IJ^2+AJ^2=35725\\\\\boxed{IJ^2+AJ^2=AI^2}[/tex]
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AIJ est rectangle en J